奇函数和偶函数的运算法则主要涉及函数的加、减、乘、除运算，具体如下： 加法法则 奇函数 + 奇函数 = 奇函数：设f ( x ) f(x)f(x)，g ( x ) g(x)g(x)均为奇函数，则( f + g ) ( − x ) = f ( − x ) + g ( − x ) = − f ( x ) − g ( x ) = − ( f ( x ) + g ( x ) ) (f + g)(-x)= f(-x)+ g(-x)= -f(x)- g(x)= -(f(x)+ g(x))(f+g)(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−(f(x)+g(x))，所以f ( x ) + g ( x ) f(x)+ g(x)f(x)+g(x)是奇函数。

例如，f ( x ) = x f(x)= xf(x)=x，g ( x ) = 3 x g(x)= 3xg(x)=3x都是奇函数，( f + g ) ( x ) = x + 3 x = 4 x (f + g)(x)= x + 3x = 4x(f+g)(x)=x+3x=4x，4 x 4x4x也是奇函数。

偶函数 + 偶函数 = 偶函数：若f ( x ) f(x)f(x)，g ( x ) g(x)g(x)都是偶函数，那么( f + g ) ( − x ) = f ( − x ) + g ( − x ) = f ( x ) + g ( x ) (f + g)(-x)= f(-x)+ g(-x)= f(x)+ g(x)(f+g)(−x)=f(−x)+g(−x)=f(x)+g(x)，故f ( x ) + g ( x ) f(x)+ g(x)f(x)+g(x)是偶函数。

比如f ( x ) = x 2 f(x)= x^{2}f(x)=x2，g ( x ) = 5 g(x)= 5g(x)=5都是偶函数 ，( f + g ) ( x ) = x 2 + 5 (f + g)(x)= x^{2}+ 5(f+g)(x)=x2+5同样是偶函数。

奇函数 + 偶函数 = 非奇非偶函数（特殊情况除外）：设f ( x ) f(x)f(x)是奇函数，g ( x ) g(x)g(x)是偶函数，( f + g ) ( − x ) = f ( − x ) + g ( − x ) = − f ( x ) + g ( x ) (f + g)(-x)= f(-x)+ g(-x)= -f(x)+ g(x)(f+g)(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)，一般情况下− f ( x ) + g ( x ) ≠ f ( x ) + g ( x ) -f(x)+ g(x)\neq f(x)+ g(x)−f(x)+g(x)=f(x)+g(x)且− f ( x ) + g ( x ) ≠ − ( f ( x ) + g ( x ) ) -f(x)+ g(x)\neq -(f(x)+ g(x))−f(x)+g(x)=−(f(x)+g(x))。

例如f ( x ) = x f(x)= xf(x)=x，g ( x ) = x 2 g(x)= x^{2}g(x)=x2，( f + g ) ( x ) = x + x 2 (f + g)(x)= x + x^{2}(f+g)(x)=x+x2，既不是奇函数也不是偶函数。

减法法则 奇函数 - 奇函数 = 奇函数：对于奇函数f ( x ) f(x)f(x)，g ( x ) g(x)g(x) ，( f − g ) ( − x ) = f ( − x ) − g ( − x ) = − f ( x ) − [ − g ( x ) ] = − ( f ( x ) − g ( x ) ) (f - g)(-x)= f(-x)- g(-x)= -f(x)-[-g(x)]= -(f(x)- g(x))(f−g)(−x)=f(−x)−g(−x)=−f(x)−[−g(x)]=−(f(x)−g(x))，所以f ( x ) − g ( x ) f(x)- g(x)f(x)−g(x)是奇函数。

例如f ( x ) = 2 x f(x)= 2xf(x)=2x，g ( x ) = x g(x)= xg(x)=x都是奇函数，( f − g ) ( x ) = 2 x − x = x (f - g)(x)= 2x - x = x(f−g)(x)=2x−x=x，是奇函数。

偶函数 - 偶函数 = 偶函数：若f ( x ) f(x)f(x)，g ( x ) g(x)g(x)为偶函数，则( f − g ) ( − x ) = f ( − x ) − g ( − x ) = f ( x ) − g ( x ) (f - g)(-x)= f(-x)- g(-x)= f(x)- g(x)(f−g)(−x)=f(−x)−g(−x)=f(x)−g(x)，因此f ( x ) − g ( x ) f(x)- g(x)f(x)−g(x)是偶函数。

比如f ( x ) = x 2 f(x)= x^{2}f(x)=x2，g ( x ) = 2 x 2 g(x)= 2x^{2}g(x)=2x2都是偶函数，( f − g ) ( x ) = x 2 − 2 x 2 = − x 2 (f - g)(x)= x^{2}- 2x^{2}= -x^{2}(f−g)(x)=x2−2x2=−x2，是偶函数。

奇函数 - 偶函数 = 非奇非偶函数（特殊情况除外）：设f ( x ) f(x)f(x)是奇函数，g ( x ) g(x)g(x)是偶函数，( f − g ) ( − x ) = f ( − x ) − g ( − x ) = − f ( x ) − g ( x ) (f - g)(-x)= f(-x)- g(-x)= -f(x)- g(x)(f−g)(−x)=f(−x)−g(−x)=−f(x)−g(x)，通常既不等于f ( x ) − g ( x ) f(x)- g(x)f(x)−g(x)也不等于− ( f ( x ) − g ( x ) ) -(f(x)- g(x))−(f(x)−g(x))。

例如f ( x ) = x f(x)= xf(x)=x，g ( x ) = x 2 g(x)= x^{2}g(x)=x2，( f − g ) ( x ) = x − x 2 (f - g)(x)= x - x^{2}(f−g)(x)=x−x2，是非奇非偶函数。

乘法法则 奇函数 × 奇函数 = 偶函数：已知f ( x ) f(x)f(x)，g ( x ) g(x)g(x)是奇函数，则( f ⋅ g ) ( − x ) = f ( − x ) ⋅ g ( − x ) = [ − f ( x ) ] ⋅ [ − g ( x ) ] = f ( x ) ⋅ g ( x ) (f\cdot g)(-x)= f(-x)\cdot g(-x)= [-f(x)]\cdot [-g(x)] = f(x)\cdot g(x)(f⋅g)(−x)=f(−x)⋅g(−x)=[−f(x)]⋅[−g(x)]=f(x)⋅g(x)，所以f ( x ) ⋅ g ( x ) f(x)\cdot g(x)f(x)⋅g(x)是偶函数。

比如f ( x ) = x f(x)= xf(x)=x，g ( x ) = x 3 g(x)= x^{3}g(x)=x3都是奇函数，( f ⋅ g ) ( x ) = x ⋅ x 3 = x 4 (f\cdot g)(x)= x\cdot x^{3}= x^{4}(f⋅g)(x)=x⋅x3=x4，是偶函数。

偶函数 × 偶函数 = 偶函数：对于偶函数f ( x ) f(x)f(x)，g ( x ) g(x)g(x)，( f ⋅ g ) ( − x ) = f ( − x ) ⋅ g ( − x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) (f\cdot g)(-x)= f(-x)\cdot g(-x)= f(x)\cdot g(x)(f⋅g)(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅g(x)，所以f ( x ) ⋅ g ( x ) f(x)\cdot g(x)f(x)⋅g(x)是偶函数。

例如f ( x ) = x 2 f(x)= x^{2}f(x)=x2，g ( x ) = 3 g(x)= 3g(x)=3都是偶函数，( f ⋅ g ) ( x ) = 3 x 2 (f\cdot g)(x)= 3x^{2}(f⋅g)(x)=3x2，是偶函数。

奇函数 × 偶函数 = 奇函数：设f ( x ) f(x)f(x)是奇函数，g ( x ) g(x)g(x)是偶函数，则( f ⋅ g ) ( − x ) = f ( − x ) ⋅ g ( − x ) = [ − f ( x ) ] ⋅ g ( x ) = − ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) (f\cdot g)(-x)= f(-x)\cdot g(-x)= [-f(x)]\cdot g(x)= -(f(x)\cdot g(x))(f⋅g)(−x)=f(−x)⋅g(−x)=[−f(x)]⋅g(x)=−(f(x)⋅g(x))，所以f ( x ) ⋅ g ( x ) f(x)\cdot g(x)f(x)⋅g(x)是奇函数。

比如f ( x ) = x f(x)= xf(x)=x，g ( x ) = x 2 g(x)= x^{2}g(x)=x2，( f ⋅ g ) ( x ) = x ⋅ x 2 = x 3 (f\cdot g)(x)= x\cdot x^{2}= x^{3}(f⋅g)(x)=x⋅x2=x3，是奇函数。

除法法则 奇函数÷奇函数 = 偶函数：前提是分母不为零，设f ( x ) f(x)f(x)，g ( x ) g(x)g(x)为奇函数，( f g ) ( − x ) = f ( − x ) g ( − x ) = − f ( x ) − g ( x ) = f ( x ) g ( x ) \left(\frac{f}{g}\right)(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}=\frac{-f(x)}{-g(x)}=\frac{f(x)}{g(x)}(gf​)(−x)=g(−x)f(−x)​=−g(x)−f(x)​=g(x)f(x)​，所以f ( x ) g ( x ) \frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​是偶函数。

例如f ( x ) = 2 x f(x)= 2xf(x)=2x，g ( x ) = x g(x)= xg(x)=x（x ≠ 0 x\neq0x=0），( f g ) ( x ) = 2 \left(\frac{f}{g}\right)(x) = 2(gf​)(x)=2，是偶函数。

偶函数÷偶函数 = 偶函数：当分母不为零，对于偶函数f ( x ) f(x)f(x)，g ( x ) g(x)g(x) ，( f g ) ( − x ) = f ( − x ) g ( − x ) = f ( x ) g ( x ) \left(\frac{f}{g}\right)(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}=\frac{f(x)}{g(x)}(gf​)(−x)=g(−x)f(−x)​=g(x)f(x)​，所以f ( x ) g ( x ) \frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​是偶函数。

比如f ( x ) = x 2 f(x)= x^{2}f(x)=x2，g ( x ) = 4 g(x)= 4g(x)=4（x ≠ 0 x\neq0x=0），( f g ) ( x ) = x 2 4 \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x^{2}}{4}(gf​)(x)=4x2​，是偶函数。

奇函数÷偶函数 = 奇函数：在分母不为零的情况下，设f ( x ) f(x)f(x)是奇函数，g ( x ) g(x)g(x)是偶函数，则( f g ) ( − x ) = f ( − x ) g ( − x ) = − f ( x ) g ( x ) = − ( f ( x ) g ( x ) ) \left(\frac{f}{g}\right)(-x)=\frac{f(-x)}{g(-x)}=\frac{-f(x)}{g(x)}=-\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)(gf​)(−x)=g(−x)f(−x)​=g(x)−f(x)​=−(g(x)f(x)​)，所以f ( x ) g ( x ) \frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​是奇函数。

例如f ( x ) = x f(x)= xf(x)=x，g ( x ) = x 2 g(x)= x^{2}g(x)=x2（x ≠ 0 x\neq0x=0），( f g ) ( x ) = 1 x \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{1}{x}(gf​)(x)=x1​，是奇函数。