圆的一般式的圆心和半径怎么求

圆的一般方程为 $x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$（$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$ ） ，圆心坐标和半径的求法如下：

推导过程

将圆的一般方程通过配方转化为标准方程$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ 的形式（其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径）。

对于方程 $x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$，进行配方：

$$\begin{align*} x^{2} + Dx + y^{2} + Ey&=-F\\ x^{2} + Dx + (\frac{D}{2})^{2} + y^{2} + Ey + (\frac{E}{2})^{2}&= (\frac{D}{2})^{2} + (\frac{E}{2})^{2} - F\\ (x + \frac{D}{2})^{2} + (y + \frac{E}{2})^{2}&=\frac{D^{2} + E^{2} - 4F}{4} \end{align*}$$

圆心坐标和半径

圆心坐标：由上述标准方程可知，圆心坐标为 $(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$。

半径：半径$r = \frac{\sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$

​​ 。

例如，对于圆的一般方程 $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y - 3 = 0$，其中 $D = -4$，$E = 6$，$F = -3$ 。

圆心横坐标为$-\frac{D}{2} = - \frac{-4}{2} = 2$，纵坐标为$-\frac{E}{2} = - \frac{6}{2} = -3$，所以圆心坐标是$(2,-3)$。

半径$r = \frac{\sqrt{(-4)^{2} + 6^{2} - 4\times(-3)}}{2} = \frac{\sqrt{16 + 36 + 12}}{2} = \frac{\sqrt{64}}{2} = 4$

​​=216+36+12

​​=264

​​=4。