椭圆的参数方程是什么?

椭圆的标准方程有两种情况，其对应的参数方程也有所不同：

中心在原点，焦点在$x$轴上的椭圆

标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt b\gt0$ ，$a$为长半轴长，$b$为短半轴长），其参数方程是$\begin{cases}x = a\cos\theta \\ y = b\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数），参数$\theta$的几何意义是椭圆上一点$(x,y)$所对应的离心角 。

中心在原点，焦点在$y$轴上的椭圆

标准方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt b\gt0$），其参数方程是$\begin{cases}x = b\cos\theta \\ y = a\sin\theta\end{cases}$ （$\theta$为参数）。

这些参数方程在解决椭圆相关的一些问题，如求椭圆上点的坐标、研究椭圆上点的运动轨迹、计算与椭圆有关的最值等方面有广泛应用。