四棱台的体积计算公式请仔细说明

四棱台体积计算公式有两种常见形式：

常规公式

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

​)
其中 $V$ 表示四棱台的体积， $h$ 是四棱台的高（即上下底面之间的垂直距离）， $S_1$ 是四棱台的上底面面积， $S_2$ 是四棱台的下底面面积。

这个公式的推导思路基于棱锥的体积公式 $V_{棱锥}=\frac{1}{3}Sh$（$S$ 为底面积， $h$ 为高）。可以把四棱台补成一个大棱锥，同时减去补上部分的小棱锥的体积，从而推导出该公式。假设大棱锥的高为 $H$，小棱锥的高为 $H - h$，大棱锥的底面积为 $S_2$，小棱锥的底面积为 $S_1$ 。大棱锥体积 $V_{大}=\frac{1}{3}HS_2$，小棱锥体积 $V_{小}=\frac{1}{3}(H - h)S_1$ 。通过相似关系找到 $H$ 与 $h$、$S_1$、$S_2$ 的联系，经过一系列代数运算就能得出四棱台体积公式 $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

​) 。

拟柱体体积公式（适用于四棱台）

$V=\frac{h}{6}(S_{上}+4S_{中}+S_{下})$
这里 $h$ 同样是四棱台的高， $S_{上}$ 是上底面面积， $S_{下}$ 是下底面面积， $S_{中}$ 是中截面面积（中截面是平行于上下底面且到上下底面距离相等的截面）。

对于四棱台，如果上底面边长分别为 $a_1,b_1$，下底面边长分别为 $a_2,b_2$，那么中截面边长分别为 $\frac{a_1 + a_2}{2}$ ，$\frac{b_1 + b_2}{2}$ ，进而可求出中截面面积 $S_{中}$ ，再代入公式计算体积。这种形式在某些已知中截面相关信息或者便于求出中截面面积的情况下使用较为方便。