点斜式方程

点斜式方程是直线方程的一种表达形式，用于描述平面直角坐标系中直线的位置。

定义

若直线过点$(x_0,y_0)$，且斜率为$k$，那么直线的点斜式方程为$y - y_0 = k(x - x_0)$ 。

推导

设直线$l$经过定点$P(x_0,y_0)$，斜率为$k$，直线$l$上任意一点$Q(x,y)$ 。
根据斜率的定义，过两点$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$的直线斜率$k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 。
那么直线$l$的斜率$k = \frac{y - y_0}{x - x_0}$（$x\neq x_0$ ），变形后就得到$y - y_0 = k(x - x_0)$ 。当$x = x_0$时，$y - y_0 = k(x_0 - x_0)=0$，即$y = y_0$，说明点$(x_0,y_0)$也满足这个方程。所以直线$l$上任意一点的坐标都满足$y - y_0 = k(x - x_0)$ 。

应用场景

已知一点和斜率求直线方程：当题目给出直线经过某一点的坐标以及直线的斜率时，可直接利用点斜式方程写出直线方程。例如，已知直线过点$(1,2)$，斜率为$3$，则直线方程为$y - 2 = 3(x - 1)$ ，进一步整理可得$y = 3x - 1$ 。

研究直线性质：通过点斜式方程，可以方便地分析直线的斜率、倾斜角等性质，还能用于判断两条直线的位置关系等问题。