抛物线的弦长公式是什么尽量详细

 

一般弦长公式（适用于所有圆锥曲线，包括抛物线）

设直线$l$与抛物线相交于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点，直线$l$的斜率为$k$，直线$l$的方程为$y = kx + b$（当直线斜率不存在时单独讨论）。

联立直线$l$与抛物线方程$\begin{cases}y = kx + b\\y^{2}=2px(p\gt0)\end{cases}$（以抛物线$y^{2}=2px$为例），将$y = kx + b$代入$y^{2}=2px$可得：

$(kx + b)^{2}=2px$，展开得到$k^{2}x^{2}+2kbx + b^{2}-2px = 0$，即$k^{2}x^{2}+(2kb - 2p)x + b^{2}=0$。

由韦达定理可知$x_1 + x_2=-\frac{2kb - 2p}{k^{2}}$，$x_1x_2=\frac{b^{2}}{k^{2}}$。

 

根据两点间距离公式$\vert AB\vert=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$

​，因为$y_2 - y_1 = k(x_2 - x_1)$，所以$\vert AB\vert=\sqrt{(1 + k^{2})(x_2 - x_1)^{2}}=\sqrt{(1 + k^{2})[(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2]}$

​=(1+k2)[(x1​+x2​)2−4x1​x2​]

​。

将$x_1 + x_2$与$x_1x_2$的值代入上式，就可以求出弦长$\vert AB\vert$。这就是一般情况下求抛物线弦长的公式。

 

 

焦点弦长公式（弦过抛物线焦点的特殊情况）

对于抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$

设过焦点$F(\frac{p}{2},0)$的直线斜率为$k$，直线方程为$y = k(x-\frac{p}{2})$。

联立$\begin{cases}y = k(x-\frac{p}{2})\\y^{2}=2px\end{cases}$，将$y = k(x-\frac{p}{2})$代入$y^{2}=2px$得：

$[k(x-\frac{p}{2})]^{2}=2px$，展开$k^{2}(x^{2}-px+\frac{p^{2}}{4}) = 2px$，即$k^{2}x^{2}-(k^{2}p + 2p)x+\frac{k^{2}p^{2}}{4}=0$。

设交点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由韦达定理$x_1 + x_2=\frac{k^{2}p + 2p}{k^{2}}=p+\frac{2p}{k^{2}}$。

 

由抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，抛物线$y^{2}=2px$的准线方程是$x = -\frac{p}{2}$。

则$\vert AB\vert=x_1+\frac{p}{2}+x_2+\frac{p}{2}=x_1 + x_2 + p$。

把$x_1 + x_2=p+\frac{2p}{k^{2}}$代入可得$\vert AB\vert = 2p+\frac{2p}{k^{2}}=\frac{2p(1 + k^{2})}{k^{2}}$。

当直线斜率不存在时，直线方程为$x=\frac{p}{2}$，代入$y^{2}=2px$得$y^{2}=p^{2}$，$y=\pm p$，此时弦长$\vert AB\vert = 2p$。也符合$\vert AB\vert=\frac{2p(1 + k^{2})}{k^{2}}$（当$k\rightarrow\infty$时）。

 

对于抛物线$y^{2}=-2px(p\gt0)$

焦点$F(-\frac{p}{2},0)$，类似上述推导过程，弦长公式形式与$y^{2}=2px$情况类似，弦长$\vert AB\vert = 2p+\frac{2p}{k^{2}}=\frac{2p(1 + k^{2})}{k^{2}}$（斜率存在时），斜率不存在时弦长为$2p$。

 

对于抛物线$x^{2}=2py(p\gt0)$

焦点$F(0,\frac{p}{2})$，设过焦点的直线方程为$y = kx+\frac{p}{2}$，联立$\begin{cases}y = kx+\frac{p}{2}\\x^{2}=2py\end{cases}$，消去$y$得$x^{2}=2p(kx+\frac{p}{2})$，即$x^{2}-2pkx - p^{2}=0$。

设交点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由韦达定理$x_1 + x_2 = 2pk$，$x_1x_2=-p^{2}$。

弦长$\vert AB\vert=\sqrt{(1 + k^{2})(x_2 - x_1)^{2}}=\sqrt{(1 + k^{2})[(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2]}=\sqrt{(1 + k^{2})(4p^{2}k^{2}+4p^{2})}=2p(1 + k^{2})$

​=(1+k2)[(x1​+x2​)2−4x1​x2​]

​=(1+k2)(4p2k2+4p2)

​=2p(1+k2)。

 

对于抛物线$x^{2}=-2py(p\gt0)$

焦点$F(0,-\frac{p}{2})$，同样方法可推导出弦长公式为$\vert AB\vert = 2p(1 + k^{2})$（斜率存在时） 。

 

 

总结来说，一般弦长公式$\vert AB\vert=\sqrt{(1 + k^{2})[(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2]}$

​；焦点弦长公式在不同形式抛物线中有相应具体形式，如抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$过焦点弦长$\vert AB\vert=\frac{2p(1 + k^{2})}{k^{2}}$ ，抛物线$x^{2}=2py(p\gt0)$过焦点弦长$\vert AB\vert = 2p(1 + k^{2})$等。