递增数列求和公式请给出具体公式,

递增数列是指从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列。递增数列有很多种，不同类型的递增数列求和公式不同，以下列举一些常见的：

等差数列

如果递增数列是等差数列，即后一项与前一项的差值为固定值（公差$d>0$ ），其首项为$a_1$，末项为$a_n$，项数为$n$，公差为$d$，则求和公式有两种表达形式：

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$

推导过程：

对于$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ：

设等差数列$\{ a_n\}$，$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$ ①

把顺序倒过来写可得$S_n = a_n + a_{n - 1} + a_{n - 2} + \cdots + a_1$ ②

① + ②得$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n - 1}) + (a_3 + a_{n - 2}) + \cdots + (a_n + a_1)$。

因为在等差数列中有$a_1 + a_n = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2} = \cdots$ ，一共有$n$组这样的和，所以$2S_n = n(a_1 + a_n)$，即$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ 。

 

对于$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$ ：

由于等差数列通项公式$a_n = a_1 + (n - 1)d$，将其代入$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ 中，可得$S_n = \frac{n\left[a_1 + a_1 + (n - 1)d\right]}{2}$ 。

化简后得到$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$ 。

 

等比数列

若递增数列是等比数列，即后一项与前一项的比值为固定值（公比$q > 1$ ），首项为$a_1$，公比为$q$，项数为$n$，其求和公式为：
$S_n = \begin{cases} \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} & (q \neq 1) \\ na_1 & (q = 1) \end{cases}$

推导过程：

设等比数列$\{ a_n\}$，$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n$ ，即$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n - 1}$ ①

两边同乘以公比$q$得$qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \cdots + a_1q^n$ ②

① - ②得：$S_n - qS_n = a_1 - a_1q^n$ ，即$S_n(1 - q) = a_1(1 - q^n)$ 。

当$q \neq 1$时，$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$ ；当$q = 1$时，数列每一项都相等，$S_n = na_1$ 。

例如，对于等差数列$1, 3, 5, 7, 9$ ，$a_1 = 1$，$d = 2$，$n = 5$ 。

用$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ：先求$a_5 = a_1 + (5 - 1)d = 1 + 4\times2 = 9$ ，则$S_5 = \frac{5\times(1 + 9)}{2} = 25$ 。

用$S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$ ：$S_5 = 5\times1 + \frac{5\times(5 - 1)}{2}\times2 = 5 + 20 = 25$ 。

对于等比数列$2, 4, 8, 16$ ，$a_1 = 2$，$q = 2$，$n = 4$ ，$S_4 = \frac{2\times(1 - 2^4)}{1 - 2} = \frac{2 - 32}{-1} = 30$ 。