e的x次方的导数是什么

$e^x$的导数就是它本身，即$(e^x)^\prime = e^x$。

下面给出基于导数定义和相关性质的推导过程：
导数的定义为函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。

对于函数 $y = e^x$，根据导数定义求其导数：

$$\begin{align*} (e^x)^\prime&=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x + \Delta x} - e^x}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{e^x \cdot e^{\Delta x} - e^x}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{e^x(e^{\Delta x} - 1)}{\Delta x}\\ \end{align*}$$

因为当 $\Delta x \to 0$ 时，$e^{\Delta x}-1$ 与 $\Delta x$ 是等价无穷小（这是一个重要的极限结论，即 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}=1$ ）。

所以 $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{e^x(e^{\Delta x} - 1)}{\Delta x}=e^x \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}=e^x\times1 = e^x$

综上，$e^x$ 的导数为 $e^x$。