二倍角公式是什么(全部)

二倍角公式是三角函数中非常重要的一组公式，它包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式和正切二倍角公式，具体内容如下：

正弦二倍角公式

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

推导过程：根据两角和的正弦公式$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$，当$\beta = \alpha$时，$\sin2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$。

余弦二倍角公式

$\cos2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha$
又因为$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$，所以余弦二倍角公式还有另外两种形式：
$\cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1$
$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha$

推导过程：同样根据两角和的余弦公式$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$，当$\beta = \alpha$时，$\cos2\alpha = \cos(\alpha + \alpha) = \cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha$；再结合$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$，将$\sin^{2}\alpha = 1 - \cos^{2}\alpha$代入$\cos2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha$可得$\cos2\alpha = \cos^{2}\alpha - (1 - \cos^{2}\alpha) = 2\cos^{2}\alpha - 1$；将$\cos^{2}\alpha = 1 - \sin^{2}\alpha$代入$\cos2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha$可得$\cos2\alpha = 1 - \sin^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha$ 。

正切二倍角公式

$\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$

推导过程：根据正切函数的定义$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$以及正切的两角和公式$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$，当$\beta = \alpha$时，$\tan2\alpha = \tan(\alpha + \alpha) = \frac{\tan\alpha + \tan\alpha}{1 - \tan\alpha\tan\alpha} = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$，需要注意的是，这里$\alpha\neq k\pi + \frac{\pi}{2}$且$\alpha\neq k\pi + \frac{\pi}{4}$，$k\in Z$，以保证正切值有意义。