《分式方程》教案

一、教学目标

知识与技能目标

学生能理解分式方程的概念，能识别分式方程与整式方程的区别。

掌握分式方程的一般解法，会用去分母的方法将分式方程化为整式方程求解。

了解增根的概念，能正确检验分式方程的解。

 

过程与方法目标

通过观察、比较、分析分式方程与整式方程的特点，培养学生的类比思维能力。

在探究分式方程解法的过程中，体会转化的数学思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。

 

情感态度与价值观目标

通过分式方程的学习，让学生体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

在小组合作学习中，培养学生的合作意识和交流能力。

 

二、教学重难点

教学重点

分式方程的概念和一般解法。

理解增根产生的原因并掌握验根的方法。

 

教学难点

理解增根的概念以及增根产生的原因。

正确运用去分母的方法将分式方程化为整式方程，并准确求解和验根。

 

三、教学方法

讲授法：讲解分式方程的概念、解法以及增根等重要知识点，确保学生掌握基础知识。

讨论法：组织学生对分式方程解法中出现的问题进行讨论，如增根产生的原因，培养学生的合作交流和思维能力。

练习法：通过课堂练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学过程

（一）导入新课（5分钟）

呈现问题情境：
同学们，我们来思考一个实际问题。一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？

引导学生分析并列出方程：
设江水的流速为$v$ km/h。
顺流速度 = 轮船在静水中的速度 + 水流速度，即$(30 + v)$ km/h，那么顺流航行90 km所用时间为$\frac{90}{30 + v}$ h。
逆流速度 = 轮船在静水中的速度 - 水流速度，即$(30 - v)$ km/h，逆流航行60 km所用时间为$\frac{60}{30 - v}$ h。
因为顺流航行90 km所用时间与逆流航行60 km所用时间相等，所以可列出方程$\frac{90}{30 + v} = \frac{60}{30 - v}$。

引出课题：
观察这个方程，它和我们以前学过的整式方程有什么不同呢？今天我们就一起来学习这样的方程——分式方程。

（二）讲授新课（20分钟）

分式方程的概念

展示几个方程：$\frac{2}{x - 3} = \frac{3}{x}$，$\frac{1}{x} + x = 2$，$\frac{x}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2x - 1}{6}$（最后一个为整式方程作为对比）。

引导学生观察这些方程，比较它们的异同点。

总结分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

让学生判断一些方程是否为分式方程，如$\frac{3}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = 1$，$\frac{2x}{3} + 5 = \frac{x}{2}$等，加深对分式方程概念的理解。

 

分式方程的解法

以方程$\frac{90}{30 + v} = \frac{60}{30 - v}$为例讲解解法。

提出问题：怎样把分式方程转化为我们熟悉的整式方程呢？

引导学生思考：可以给方程两边同乘$(30 + v)(30 - v)$，这样就可以去掉分母。

具体步骤：
方程两边同乘$(30 + v)(30 - v)$，得$90(30 - v) = 60(30 + v)$。
展开括号：$2700 - 90v = 1800 + 60v$。
移项：$-90v - 60v = 1800 - 2700$。
合并同类项：$-150v = -900$。
系数化为1：$v = 6$。

强调检验：
把$v = 6$代入原方程的分母$30 + v = 30 + 6 = 36\neq 0$，$30 - v = 30 - 6 = 24\neq 0$。
所以$v = 6$是原分式方程的解。

总结分式方程的一般解法步骤：

去分母：方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程。

解整式方程：运用已学的整式方程的解法求出整式方程的解。

检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母不等于0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解。

 

（三）例题讲解（15分钟）

例1：解方程$\frac{2}{x - 1} = \frac{4}{x^2 - 1}$

引导学生确定最简公分母：
先对$x^2 - 1$因式分解为$(x + 1)(x - 1)$，所以最简公分母是$(x + 1)(x - 1)$。

去分母：
方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$，得$2(x + 1) = 4$。

解整式方程：
展开括号$2x + 2 = 4$，移项得$2x = 4 - 2$，即$2x = 2$，解得$x = 1$。

检验：
把$x = 1$代入最简公分母$(x + 1)(x - 1)=(1 + 1)(1 - 1)=0$。
所以$x = 1$是增根，原分式方程无解。

例2：解方程$\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x^2 - 4} = 1$

确定最简公分母：
$x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)$，最简公分母是$(x + 2)(x - 2)$。

去分母：
方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得$x(x + 2)-1=(x + 2)(x - 2)$。

解整式方程：
展开式子$x^2 + 2x - 1 = x^2 - 4$，移项得$x^2 + 2x - x^2 = - 4 + 1$，即$2x = - 3$，解得$x = -\frac{3}{2}$。

检验：
把$x = -\frac{3}{2}$代入最简公分母$(x + 2)(x - 2)=(-\frac{3}{2} + 2)(-\frac{3}{2} - 2)=\frac{1}{2}\times(-\frac{7}{2})\neq 0$。
所以$x = -\frac{3}{2}$是原分式方程的解。

通过这两个例题，进一步强调解分式方程的步骤以及验根的重要性。

（四）课堂练习（15分钟）

给出练习题：

$\frac{3}{x} = \frac{2}{x - 1}$

$\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{1 - x}{2 - x}$

$\frac{x}{x - 3} - \frac{1}{x^2 - 9} = 1$

 

让学生分组进行练习，每组派代表上台板演。

教师巡视指导，及时纠正学生在解题过程中出现的错误。

对学生的板演进行点评，强调解题的规范和注意事项。

（五）课堂小结（5分钟）

引导学生回顾本节课所学内容：

分式方程的概念：分母里含有未知数的方程。

分式方程的解法步骤：去分母、解整式方程、检验。

增根的概念：使最简公分母为0的整式方程的根。

 

强调本节课的重点和难点：
重点是分式方程的解法，难点是理解增根产生的原因和正确验根。

（六）布置作业（5分钟）

书面作业：教材第[具体页码]习题[具体题号]。

思考作业：思考分式方程在实际生活中还有哪些其他的应用场景？

五、教学反思

在本节课的教学过程中，通过实际问题引入分式方程的概念，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发了学生的学习兴趣。在讲解分式方程的解法时，注重引导学生思考如何将分式方程转化为整式方程，体会转化的数学思想。但在教学过程中也发现部分学生在去分母和验根环节容易出现错误，在今后的教学中应加强针对性的练习和指导。同时，对于增根概念的理解，部分学生还存在困难，需要在后续教学中通过更多实例帮助学生加深理解 。