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求线到线的距离公式

更新时间:2026-08-19 10:10:14   栏目: 早教

在空间和平面中，线与线的位置关系不同，距离的求法和公式也有所不同，以下分别介绍：

平面内两条平行直线间的距离公式

设两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0l_1: Ax + By + C_1 = 0，l2:Ax+By+C2=0l_2: Ax + By + C_2 = 0（AA、BB 不同时为 00），它们之间的距离 dd 的计算公式为：
d=∣C1−C2∣A2+B2d = \frac{\vert C_1 - C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}

​∣C1​−C2​∣​

推导思路：在直线 l1l_1 上任取一点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)，则 Ax0+By0+C1=0Ax_0 + By_0 + C_1 = 0，即 Ax0+By0=−C1Ax_0 + By_0 = - C_1。点 PP 到直线 l2l_2 的距离就是两平行线间的距离，根据点到直线的距离公式 d=∣Ax0+By0+C2∣A2+B2d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}

​∣Ax0​+By0​+C2​∣​，将 Ax0+By0=−C1Ax_0 + By_0 = - C_1 代入可得 d=∣−C1+C2∣A2+B2=∣C1−C2∣A2+B2d = \frac{\vert - C_1 + C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{\vert C_1 - C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}

​∣−C1​+C2​∣​=A2+B2

​∣C1​−C2​∣​。

空间中异面直线间的距离公式

设两条异面直线 l1l_1 和 l2l_2，其方向向量分别为 v1⃗\vec{v_1}

​、v2⃗\vec{v_2}

​，分别在 l1l_1、l2l_2 上取点 AA、BB，则异面直线 l1l_1 与 l2l_2 之间的距离 dd 为：
d=∣(AB⃗×v1⃗)⋅v2⃗∣∣v1⃗×v2⃗∣d = \frac{\vert (\vec{AB} \times \vec{v_1}) \cdot \vec{v_2} \vert}{\vert \vec{v_1} \times \vec{v_2} \vert}

​×v2​

​∣∣(AB

×v1​

​)⋅v2​

​∣​

这里涉及向量叉乘和点乘运算。推导过程相对复杂，主要基于向量的几何性质和空间几何关系，利用向量运算来确定异面直线间的公垂线段长度，也就是异面直线间的距离。

如果已知异面直线的参数方程，也可以通过建立函数关系，利用求函数最值的方法来求解异面直线间的距离，但这种方法计算量较大。

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