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伯努利不等式

更新时间:2026-08-19 07:10:29   栏目: 早教

伯努利不等式是数学中的一个经典不等式，有多种形式，常见的形式如下：

一般形式

设 x≥−1x \geq - 1，n∈N+n\in N^+（正整数集），则有 (1+x)n≥1+nx(1 + x)^n \geq 1 + nx 。当且仅当 n=1n = 1 或 x=0x = 0 时等号成立。

推广形式

对于实数 r≤0r \leq0 或 r≥1r \geq 1，当 x>−1x > - 1 时，有 (1+x)r≥1+rx(1 + x)^r \geq 1 + rx；对于 0<r<10 < r < 1，当 x>−1x > - 1 时，有 (1+x)r≤1+rx(1 + x)^r \leq 1 + rx。

证明（以常见的正整数 nn 的情况为例，采用数学归纳法）

当 n=1n = 1 时：

左边 =(1+x)1=1+x=(1 + x)^1 = 1 + x，右边 =1+1×x=1+x=1 + 1\times x = 1 + x，此时不等式 (1+x)n≥1+nx(1 + x)^n \geq 1 + nx 等号成立。

 

假设当 n=kn = k（k∈N+k\in N^+）时不等式成立：

即 (1+x)k≥1+kx(1 + x)^k \geq 1 + kx 成立。

 

当 n=k+1n = k + 1 时：

(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1 + x)^{k + 1}=(1 + x)^k(1 + x)。

因为 (1+x)k≥1+kx(1 + x)^k \geq 1 + kx（由假设），且 x≥−1x \geq - 1，所以 (1+x)k(1+x)≥(1+kx)(1+x)(1 + x)^k(1 + x)\geq (1 + kx)(1 + x)。

展开 (1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx2=1+(k+1)x+kx2(1 + kx)(1 + x)=1 + x + kx + kx^2 = 1+(k + 1)x + kx^2。

由于 kx2≥0kx^2\geq0（k∈N+k\in N^+，x2≥0x^2\geq0），所以 1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x1+(k + 1)x + kx^2\geq 1+(k + 1)x。

即 (1+x)k+1≥1+(k+1)x(1 + x)^{k + 1}\geq 1+(k + 1)x，所以当 n=k+1n = k + 1 时不等式也成立 。

 

伯努利不等式在分析学、概率论等众多数学领域以及工程技术等实际问题中都有广泛应用，它可以用于证明其他不等式、估计数值范围等。

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