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两直线间距离公式

更新时间:2026-08-19 07:10:32   栏目: 早教

两直线间的距离公式根据两直线的位置关系分为以下两种情况：

两条平行直线间的距离公式

对于两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0l_1: Ax + By + C_1 = 0 和 l2:Ax+By+C2=0l_2: Ax + By + C_2 = 0（AA、BB 不同时为 00），它们之间的距离 dd 为：
d=∣C1−C2∣A2+B2d = \frac{\vert C_1 - C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}

​∣C1​−C2​∣​

推导过程：
在直线 l1l_1 上任取一点 P(x0,y0)P(x_0, y_0)，则 Ax0+By0+C1=0Ax_0 + By_0 + C_1 = 0，即 Ax0+By0=−C1Ax_0 + By_0 = - C_1。
点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 到直线 l2l_2 的距离就是两平行直线间的距离。
根据点(x0,y0)(x_0,y_0)到直线 Ax+By+D=0Ax + By + D = 0（这里 D=C2D = C_2）的距离公式 d=∣Ax0+By0+D∣A2+B2d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + D \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}

​∣Ax0​+By0​+D∣​，把 Ax0+By0=−C1Ax_0 + By_0 = - C_1 和 D=C2D = C_2 代入可得：
d=∣−C1+C2∣A2+B2=∣C1−C2∣A2+B2d = \frac{\vert - C_1 + C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{\vert C_1 - C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}

​∣−C1​+C2​∣​=A2+B2

​∣C1​−C2​∣​

两条异面直线间的距离公式（空间直角坐标系中）

设两条异面直线 l1l_1 和 l2l_2 的方向向量分别为 v1⃗\vec{v_1}

​、v2⃗\vec{v_2}

​，经过 l1l_1 上一点 AA，l2l_2 上一点 BB，则异面直线 l1l_1 与 l2l_2 之间的距离 dd 为：
d=∣(AB→×v1⃗)⋅v2⃗∣∣v1⃗×v2⃗∣d = \frac{\vert (\overrightarrow{AB} \times \vec{v_1}) \cdot \vec{v_2} \vert}{\vert \vec{v_1} \times \vec{v_2} \vert}

​×v2​

​∣∣(AB

×v1​

​)⋅v2​

​∣​

其中 ×\times 表示向量叉乘，⋅\cdot 表示向量点乘。这个公式相对复杂，涉及较多向量运算知识。其原理是利用向量间的几何关系，通过向量运算得到异面直线间的垂直距离。

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