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平方差公式

更新时间:2026-08-18 18:31:42   栏目: 早教

平方差公式是数学中一个重要的乘法公式，表述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

1. 公式表达式

(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}

其中aa、bb 可以是具体的数字、单项式、多项式 。例如：

当a=5a = 5，b=3b = 3 时，(5+3)(5−3)=52−32=25−9=16(5 + 3)(5 - 3)=5^{2}-3^{2}=25 - 9 = 16

当a=2xa = 2x，b=yb = y 时，(2x+y)(2x−y)=(2x)2−y2=4x2−y2(2x + y)(2x - y)=(2x)^{2}-y^{2}=4x^{2}-y^{2}

当a=m+na = m + n，b=pb = p 时，[(m+n)+p][(m+n)−p]=(m+n)2−p2=m2+2mn+n2−p2[(m + n)+p][(m + n)-p]=(m + n)^{2}-p^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}-p^{2}

2. 公式推导

我们可以通过多项式乘法法则来推导平方差公式：

(a+b)(a−b)=a×a−a×b+b×a−b×b=a2−ab+ab−b2=a2−b2\begin{align*} (a + b)(a - b)&=a\times a - a\times b + b\times a - b\times b\\ &=a^{2}-ab + ab - b^{2}\\ &=a^{2}-b^{2} \end{align*}

3. 几何意义

平方差公式也有直观的几何解释。假设有一个边长为aa 的大正方形，从中减去一个边长为bb 的小正方形（a>ba>b），剩余部分的面积可以用两种方式表示：

方式一：大正方形面积a2a^{2} 减去小正方形面积b2b^{2}，即a2−b2a^{2}-b^{2}。

方式二：将剩余部分通过拼接转化为一个长为(a+b)(a + b)，宽为(a−b)(a - b) 的长方形，其面积为(a+b)(a−b)(a + b)(a - b) 。

所以(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2} 。

4. 应用

简化计算：在一些数值计算中，利用平方差公式可以简化运算。例如计算203×197203×197，可以将其变形为(200+3)(200−3)(200 + 3)(200 - 3)，根据平方差公式可得2002−32=40000−9=39991200^{2}-3^{2}=40000 - 9 = 39991。

因式分解：平方差公式的逆用可以用于因式分解，即a2−b2=(a+b)(a−b)a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)。例如对9x2−259x^{2}-25 进行因式分解，可写成(3x)2−52=(3x+5)(3x−5)(3x)^{2}-5^{2}=(3x + 5)(3x - 5)。

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