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等边三角形中心到顶点的距离怎么求?

更新时间:2026-08-18 18:33:01   栏目: 早教

设等边三角形的边长为aa，求其中心（重心、内心、外心、垂心四心合一）到顶点的距离，也就是求其外接圆半径RR，有多种求解方法：

方法一：利用三角函数

作辅助线：

设等边三角形ABCABC，中心为OO。连接OAOA、OBOB、OCOC，并过OO作OD⊥ABOD\perp AB于DD点。

因为OO是等边三角形的中心，所以OO点同时也是重心，根据重心性质，AOAO平分∠BAC\angle BAC，且AD=12ABAD = \frac{1}{2}AB。

在等边三角形ABCABC中，∠BAC=60∘\angle BAC = 60^{\circ}，那么∠OAD=12∠BAC=30∘\angle OAD = \frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}。

 

计算相关线段长度：

已知AB=aAB = a，则AD=12aAD=\frac{1}{2}a。

在Rt△AODRt\triangle AOD中，cos⁡∠OAD=ADAO\cos\angle OAD = \frac{AD}{AO}。

因为cos⁡30∘=32\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}

​​，AD=12aAD = \frac{1}{2}a，所以AO=ADcos⁡∠OAD=12acos⁡30∘=12a32=33aAO=\frac{AD}{\cos\angle OAD}=\frac{\frac{1}{2}a}{\cos30^{\circ}}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a

​​21​a​=33

​​a。

 

方法二：利用正弦定理

回顾正弦定理内容：

在任意△ABC\triangle ABC中，角AA、BB、CC所对的边长分别为aa、bb、cc，三角形外接圆半径为RR，则有asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}= 2R。

 

针对等边三角形应用正弦定理：

对于等边三角形，a=b=ca = b = c，A=B=C=60∘A = B = C = 60^{\circ}，sin⁡A=sin⁡60∘=32\sin A=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}

​​。

由正弦定理asin⁡A=2R\frac{a}{\sin A}= 2R，将sin⁡A=32\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}

​​代入可得：2R=a322R=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}

​​a​。

求解RR，R=33aR = \frac{\sqrt{3}}{3}a

​​a，即等边三角形中心到顶点的距离为33a\frac{\sqrt{3}}{3}a

​​a 。

 

综上，若等边三角形边长为aa，其中心到顶点的距离为33a\frac{\sqrt{3}}{3}a

​​a 。

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