怎样用笔算算出3的立方根?

笔算开立方根可以使用迭代法，下面以计算 $3$ 的立方根为例介绍一种常见的迭代算法——牛顿迭代法：

设要求 $a = 3$ 的立方根，即求方程 $x^{3}-a=0$ 的根。

牛顿迭代公式为：$x_{n + 1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}$

对于函数 $f(x)=x^{3}-a$，其导数 $f'(x) = 3x^{2}$

那么迭代公式变为：$x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{3}-a}{3x_{n}^{2}}=\frac{2x_{n}^{3}+ a}{3x_{n}^{2}}$

 

首先选取一个初始值 $x_{0}$
通常可以先取一个接近立方根的初值，对于$\sqrt[3]{3}$

​， 我们可以取 $x_{0} = 1$

 

 

进行迭代计算

 

第一次迭代：
已知 $a = 3$，$x_{0}=1$
$x_{1}=\frac{2x_{0}^{3}+a}{3x_{0}^{2}}=\frac{2\times1^{3}+ 3}{3\times1^{2}}=\frac{2 + 3}{3}=\frac{5}{3}\approx1.667$

 

 

第二次迭代：
把 $x_{1}=\frac{5}{3}$ 代入迭代公式
$x_{2}=\frac{2x_{1}^{3}+a}{3x_{1}^{2}}$

 

 

先计算 $x_{1}^{3}=(\frac{5}{3})^{3}=\frac{125}{27}$

$2x_{1}^{3}=2\times\frac{125}{27}=\frac{250}{27}$

$3x_{1}^{2}=3\times(\frac{5}{3})^{2}=3\times\frac{25}{9}=\frac{25}{3}$

$x_{2}=\frac{\frac{250}{27}+ 3}{\frac{25}{3}}=\frac{\frac{250 + 81}{27}}{\frac{25}{3}}=\frac{\frac{331}{27}}{\frac{25}{3}}=\frac{331}{27}\times\frac{3}{25}=\frac{331}{225}\approx1.471$

复制代码

- 第三次迭代：

把 $x_{2}\approx1.471$ 代入迭代公式继续计算，经过多次迭代之后，$x_{n}$的值会越来越接近 $\sqrt[3]{3}$

​ 的精确值。

随着迭代次数的增加，结果会越来越精确。实际上 $\sqrt[3]{3}\approx1.442$

​≈1.442

另外，还有一种比较古老的手动开立方的方法，类似于手动开平方，不过过程更为复杂，步骤如下：

 

分组
将要开立方的数从小数点起向左、向右每三位分为一组，如果整数部分位数不足，前面补 $0$，小数部分位数不足，后面补 $0$。对于 $3$，写成 $3.000\ 000\cdots$

 

 

确定首根
求不大于最左边一组数的立方数，此立方数的立方根就是所求立方根的最高位数字。对于 $3$，$1^{3}=1<3$，$2^{3} = 8>3$，所以立方根的第一位数字是 $1$

 

 

求余数
用最左边一组数减去这个立方数，得到余数。 $3 - 1=2$

 

 

构造下一部分
将余数与下一组数组成新数，这里是 $2000$。同时，将已确定的立方根的部分乘以 $300$ 作为除数的一部分，这里是 $1\times300 = 300$

 

 

试商
确定一个数字 $x$，使得 $(300\times1^{2}+ 30\times1\times x+x^{2})\times x$ 不大于 $2000$。通过试算，当 $x = 4$ 时， $(300\times1^{2}+30\times1\times4 + 4^{2})\times4=(300+120 + 16)\times4=436\times4 =1744<2000$

 

 

继续计算
用新数减去 $(300\times1^{2}+30\times1\times4 + 4^{2})\times4$ 得到新的余数，再将新余数与下一组数组成新数，重复上述步骤继续计算后续数位。

 

这种方法计算量较大，容易出错，实际应用中较少使用。