奇函数和偶函数有哪些重要公式阿?

奇函数重要公式及性质

定义式：对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$ ，都有$f(-x)= - f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做奇函数。例如，若$f(x)=x^3$，则$f(-x)=(-x)^3=-x^3 = - f(x)$，所以$f(x)=x^3$是奇函数。

奇函数在对称区间上的积分性质：如果函数$f(x)$在关于原点对称的区间$[-a,a]$上可积，且$f(x)$为奇函数，那么$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0$。直观理解就是奇函数在关于原点对称区间上的图像与 $x$ 轴围成的面积，正负相互抵消，积分值为零。例如，对于奇函数$f(x)=x$在区间$[-1,1]$上，$\int_{-1}^{1}xdx = 0$ 。

两个奇函数的运算性质：

两个奇函数的和或差是奇函数。即若$f(x)$，$g(x)$都是奇函数，则$(f + g)(-x)=f(-x)+g(-x)= - f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))$ ，所以$f(x)+g(x)$是奇函数；同理可证$f(x)-g(x)$也是奇函数。例如$f(x)=x$，$g(x)=x^3$都是奇函数，$h(x)=x + x^3$，$h(-x)= - x+( - x^3)=-(x + x^3)= - h(x)$，所以$h(x)$是奇函数。

两个奇函数的积是偶函数。因为$(f\cdot g)(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=[-f(x)]\cdot[-g(x)] = f(x)\cdot g(x)$，所以$f(x)\cdot g(x)$是偶函数。比如$f(x)=x$，$g(x)=x^3$，$y(x)=x\cdot x^3=x^4$，$y(-x)=(-x)^4 = x^4 = y(x)$，$y(x)$是偶函数。

 

偶函数重要公式及性质

定义式：对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$ ，都有$f(-x)=f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做偶函数。例如，对于函数$f(x)=x^2$，$f(-x)=(-x)^2 = x^2 = f(x)$，所以$f(x)=x^2$是偶函数。

偶函数在对称区间上的积分性质：若函数$f(x)$在关于原点对称的区间$[-a,a]$上可积，且$f(x)$为偶函数，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx$。这意味着偶函数在关于原点对称区间上的积分等于其在半区间$[0,a]$上积分的两倍。例如，对于偶函数$f(x)=x^2$在区间$[-1,1]$上，$\int_{-1}^{1}x^2dx = 2\int_{0}^{1}x^2dx = 2\times[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{2}{3}$。

两个偶函数或一个奇函数与一个偶函数的运算性质：

两个偶函数的和、差、积都是偶函数。设$f(x)$，$g(x)$是偶函数，则$(f + g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)$，所以$f(x)+g(x)$是偶函数；同理可证$f(x)-g(x)$是偶函数。对于积，$(f\cdot g)(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot g(x)$，所以$f(x)\cdot g(x)$是偶函数。例如$f(x)=x^2$，$g(x)=\cos x$都是偶函数，$h(x)=x^2+\cos x$，$h(-x)=(-x)^2+\cos(-x)=x^2+\cos x = h(x)$，$h(x)$是偶函数；$y(x)=x^2\cos x$，$y(-x)=(-x)^2\cos(-x)=x^2\cos x = y(x)$，$y(x)$是偶函数。

一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。设$f(x)$是奇函数，$g(x)$是偶函数，则$(f\cdot g)(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=[-f(x)]\cdot g(x)= - f(x)\cdot g(x)$，所以$f(x)\cdot g(x)$是奇函数。例如$f(x)=x$是奇函数，$g(x)=\cos x$是偶函数，$y(x)=x\cos x$，$y(-x)=(-x)\cos(-x)= - x\cos x = - y(x)$，$y(x)$是奇函数 。