椭圆的弦长定理怎么求得?公式是什么?

弦长公式推导过程

设椭圆方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)$，直线方程为$y = kx + m$，设直线与椭圆的交点为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。

将直线方程$y = kx + m$代入椭圆方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，得到：

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{(kx + m)^{2}}{b^{2}} = 1$。

展开并整理得$(b^{2}+a^{2}k^{2})x^{2}+2a^{2}kmx + a^{2}(m^{2}-b^{2}) = 0$。

由韦达定理可知，$x_1 + x_2 =-\frac{2a^{2}km}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$，$x_1x_2=\frac{a^{2}(m^{2}-b^{2})}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$。

 

根据两点间距离公式$\vert AB\vert=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$

​，因为$y_1 = kx_1 + m$，$y_2 = kx_2 + m$，所以$y_2 - y_1 = k(x_2 - x_1)$。

则$\vert AB\vert=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+k^{2}(x_2 - x_1)^{2}}=\sqrt{(1 + k^{2})(x_2 - x_1)^{2}}$

​=(x2​−x1​)2+k2(x2​−x1​)2

​=(1+k2)(x2​−x1​)2

​。

又$(x_2 - x_1)^{2}=(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2$，把$x_1 + x_2 =-\frac{2a^{2}km}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$，$x_1x_2=\frac{a^{2}(m^{2}-b^{2})}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$代入可得：

$(x_2 - x_1)^{2}=(-\frac{2a^{2}km}{b^{2}+a^{2}k^{2}})^{2}-4\frac{a^{2}(m^{2}-b^{2})}{b^{2}+a^{2}k^{2}}$。

所以弦长$\vert AB\vert=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(-\frac{2a^{2}km}{b^{2}+a^{2}k^{2}})^{2}-4\frac{a^{2}(m^{2}-b^{2})}{b^{2}+a^{2}k^{2}}}$

​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​

​=1+k2

​⋅(−b2+a2k22a2km​)2−4b2+a2k2a2(m2−b2)​

​。

 

 

若直线斜率不存在，设直线方程为$x = n$，代入椭圆方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$得$\frac{n^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，则$y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-n^{2}}$

​，此时弦长$\vert AB\vert=\frac{2b}{a}\sqrt{a^{2}-n^{2}}$

​。

 

弦长公式

通用公式（斜率存在时）：对于椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)$，直线$y = kx + m$与椭圆相交于两点，弦长$l=\sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2}$

​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​

​，其中$x_1,x_2$是直线与椭圆联立方程后一元二次方程的两个根，由韦达定理得出$x_1 + x_2$与$x_1x_2$的值代入计算。

斜率不存在时：直线$x = n$与椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a\gt b\gt0)$相交的弦长$l=\frac{2b}{a}\sqrt{a^{2}-n^{2}}$

​ 。

 

这个弦长公式在解决椭圆中直线与椭圆相交弦长问题时非常有用，可以通过联立方程结合韦达定理方便地求出弦长。