向量相加减,平行,垂直,共线,相乘都有什么公式和技巧

设两个非零向量$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​)，以下是向量相加减、平行、垂直、共线、相乘（数量积）的公式及一些技巧：

向量加减法

加法：

坐标运算：$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$

+b

=(x1​+x2​,y1​+y2​)

三角形法则：将向量$\overrightarrow{a}$

与$\overrightarrow{b}$

首尾相接，从$\overrightarrow{a}$

的起点指向$\overrightarrow{b}$

的终点的向量就是$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

+b

。

平行四边形法则：以$\overrightarrow{a}$

，$\overrightarrow{b}$

为邻边作平行四边形，从公共起点出发的对角线所表示的向量就是$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

+b

。

 

减法：

坐标运算：$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$

−b

=(x1​−x2​,y1​−y2​)

三角形法则：将向量$\overrightarrow{a}$

与$\overrightarrow{b}$

起点重合，连接两向量终点，方向指向被减向量（即$\overrightarrow{a}$

）的向量就是$\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$

−b

。

 

向量平行（共线）

充要条件：

坐标表示：$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b} \Leftrightarrow x_1y_2 - x_2y_1 = 0$

∥b

⇔x1​y2​−x2​y1​=0

向量表示：$\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{b}$

∥b

⇔a

=λb

（$\lambda$为实数），即存在实数$\lambda$，使得一个向量等于另一个向量的$\lambda$倍。

 

技巧：若已知两个向量坐标，直接利用$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$判断是否平行；若题目中有向量之间的倍数关系等条件，则考虑用$\overrightarrow{a} = \lambda \overrightarrow{b}$

=λb

来求解相关参数。

向量垂直

充要条件：

坐标表示：$\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0$

⊥b

⇔x1​x2​+y1​y2​=0

向量表示：$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0$

⋅b

=0（$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$

⋅b

为向量$\overrightarrow{a}$

与$\overrightarrow{b}$

的数量积）

 

技巧：当已知向量坐标时，直接代入$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$判断垂直关系；在几何问题中，若出现直角等条件，可考虑利用向量垂直的性质建立等式求解。

向量数量积（相乘）

定义：$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \vert \overrightarrow{b} \vert \cos \theta$

⋅b

=∣a

∣∣b

∣cosθ（$\theta$为$\overrightarrow{a}$

与$\overrightarrow{b}$

的夹角，$0 \leq \theta \leq \pi$）

坐标运算：$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

⋅b

=x1​x2​+y1​y2​

性质：

$\overrightarrow{a}^2 = \vert \overrightarrow{a} \vert^2 = x_1^2 + y_1^2$

2=∣a

∣2=x12​+y12​，常用于求向量的模。

$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\vert \overrightarrow{a} \vert \vert \overrightarrow{b} \vert} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

∣∣b

∣a

⋅b

​=x12​+y12​

​⋅x22​+y22​

​x1​x2​+y1​y2​​，可用于求两向量夹角。

 

技巧：在解决向量数量积问题时，若已知坐标，优先使用坐标运算公式；若涉及向量的模和夹角，结合定义和性质进行转化求解。另外，注意向量运算律的运用，如交换律$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}$

⋅b

=b

⋅a

，分配律$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$

⋅(b

+c

)=a

⋅b

+a

⋅c

等，有助于简化计算。