向量相乘的公式是什么

向量相乘主要有两种形式，分别是数量积（点积）和向量积（叉积），它们的公式如下：

数量积（点积）

定义：已知两个非零向量 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

，它们的夹角为 $\theta$（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$ ），那么 $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta$

⋅b

=∣a

∣∣b

∣cosθ ，其中 $\vert\vec{a}\vert$

∣ 和 $\vert\vec{b}\vert$

∣ 分别表示向量 $\vec{a}$

和 $\vec{b}$

的模（长度）。

坐标表示：若 $\vec{a}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​) ， $\vec{b}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​) ，则 $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2$

⋅b

=x1​x2​+y1​y2​ 。

向量积（叉积）

定义：对于两个非零向量 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

，它们的向量积是一个向量，记作 $\vec{a}\times\vec{b}$

×b

。向量 $\vec{a}\times\vec{b}$

×b

的模是 $\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta$

×b

∣=∣a

∣∣b

∣sinθ ，其中 $\theta$ 为 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

的夹角（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$ ），向量 $\vec{a}\times\vec{b}$

×b

的方向垂直于 $\vec{a}$

与 $\vec{b}$

所决定的平面，且 $\vec{a}$

， $\vec{b}$

， $\vec{a}\times\vec{b}$

×b

构成右手系。

坐标表示：在三维空间中，若 $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$

=(x1​,y1​,z1​) ， $\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$

=(x2​,y2​,z2​) ，则

$\vec{a}\times\vec{b}=(y_1z_2 - y_2z_1,z_1x_2 - z_2x_1,x_1y_2 - x_2y_1)$

×b

=(y1​z2​−y2​z1​,z1​x2​−z2​x1​,x1​y2​−x2​y1​)

该结果也可以通过三阶行列式来记忆：$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2 \end{vmatrix}$

×b

=

​i

x1​x2​​j

​y1​y2​​k

z1​z2​​

​ ，其中 $\vec{i}$

， $\vec{j}$

​ ， $\vec{k}$

分别是 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向的单位向量。展开这个行列式就可以得到上述坐标形式的结果。

 

需要注意的是，向量积只定义在三维空间中，二维向量不存在向量积运算。而数量积在二维及更高维度空间中均有定义 。