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导数的四则运算法则,分部求导公式,积分号下的求导法

导数的四则运算法则

设函数 u(x)u(x)v(x)v(x) 在点 xx 处可导,则:

加法法则(u(x)+v(x))=u(x)+v(x)(u(x) + v(x))^\prime = u^\prime(x) + v^\prime(x)

文字表述为:两个可导函数之和的导数等于这两个函数导数之和。例如,若 y=x2+sinxy = x^2 + \sin x,其中 u(x)=x2u(x)=x^2u(x)=2xu^\prime(x)=2xv(x)=sinxv(x)=\sin xv(x)=cosxv^\prime(x)=\cos x,那么 y=(x2+sinx)=2x+cosxy^\prime=(x^2 + \sin x)^\prime = 2x+\cos x

 

减法法则(u(x)v(x))=u(x)v(x)(u(x) - v(x))^\prime = u^\prime(x) - v^\prime(x)

即两个可导函数之差的导数等于这两个函数导数之差。例如,对于 y=exlnxy = e^x - \ln xu(x)=exu(x)=e^xu(x)=exu^\prime(x)=e^xv(x)=lnxv(x)=\ln xv(x)=1xv^\prime(x)=\frac{1}{x},所以 y=(exlnx)=ex1xy^\prime=(e^x - \ln x)^\prime = e^x-\frac{1}{x}

 

乘法法则(u(x)v(x))=u(x)v(x)+u(x)v(x)(u(x)v(x))^\prime = u^\prime(x)v(x) + u(x)v^\prime(x)

也就是两个可导函数乘积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,再加上第一个函数乘第二个函数的导数。例如,若 y=xsinxy = x\sin xu(x)=xu(x)=xu(x)=1u^\prime(x)=1v(x)=sinxv(x)=\sin xv(x)=cosxv^\prime(x)=\cos x,则 y=(xsinx)=1×sinx+x×cosx=sinx+xcosxy^\prime=(x\sin x)^\prime = 1\times\sin x + x\times\cos x=\sin x + x\cos x

 

除法法则(u(x)v(x))=u(x)v(x)u(x)v(x)v2(x)\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)^\prime=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^2(x)},其中 v(x)0v(x)\neq0

即一个函数除以另一个函数的导数,等于分子函数的导数与分母函数的乘积减去分子函数与分母函数导数的乘积,再除以分母函数的平方。例如,对于 y=cosxxy=\frac{\cos x}{x}u(x)=cosxu(x)=\cos xu(x)=sinxu^\prime(x)=-\sin xv(x)=xv(x)=xv(x)=1v^\prime(x)=1,那么 y=sinxxcosx1x2=xsinxcosxx2y^\prime = \frac{-\sin x\cdot x - \cos x\cdot1}{x^2}=\frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}

 

分部求导公式(应该是分部积分公式,导数中没有分部求导这一说法)

分部积分公式是由乘积求导法则推导而来的,用于计算两个函数乘积的积分。
设函数 u=u(x)u = u(x)v=v(x)v = v(x) 具有连续导数,则:
u(x)v(x)dx=u(x)v(x)u(x)v(x)dx\int u(x)v^\prime(x)dx = u(x)v(x)-\int u^\prime(x)v(x)dx
通常简写成 udv=uvvdu\int u dv = uv-\int v du
例如,计算 xexdx\int x e^x dx ,令 u=xu = xdv=exdxdv = e^x dx ,则 du=dxdu = dxv=exv = e^x 。根据分部积分公式可得:
xexdx=xexexdx=xexex+C=(x1)ex+C\int x e^x dx = x e^x-\int e^x dx = x e^x - e^x + C = (x - 1)e^x + CCC 为常数)

积分号下的求导法(含参变量积分求导)

简单形式:设函数 f(x,t)f(x,t) 及其偏导数 f(x,t)x\frac{\partial f(x,t)}{\partial x} 在矩形区域 R={(x,t):axb,αtβ}R = \{(x,t):a\leqslant x\leqslant b,\alpha\leqslant t\leqslant\beta\} 上连续,函数 φ(t)\varphi(t)[α,β][\alpha,\beta] 上可导,且 aφ(t)ba\leqslant\varphi(t)\leqslant b ,则函数 F(x)=αφ(x)f(x,t)dtF(x)=\int_{\alpha}^{\varphi(x)}f(x,t)dt 的导数为:
F(x)=f(x,φ(x))φ(x)+αφ(x)f(x,t)xdtF^\prime(x)=f(x,\varphi(x))\varphi^\prime(x)+\int_{\alpha}^{\varphi(x)}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt
例如,已知 F(x)=0x2sin(x+t)dtF(x)=\int_{0}^{x^2}\sin(x + t)dt ,令 u=x+tu = x + t ,当 t=0t = 0 时,u=xu = x ;当 t=x2t = x^2 时,u=x+x2u = x + x^2dt=dudt = du ,则 F(x)=xx+x2sinudu=cos(x+x2)+cosxF(x)=\int_{x}^{x + x^2}\sin u du=-\cos(x + x^2)+\cos x 。直接求导 F(x)=sin(x+x2)(1+2x)sinxF^\prime(x)=\sin(x + x^2)(1 + 2x)-\sin x 。也可以利用上述公式,f(x,t)=sin(x+t)f(x,t)=\sin(x + t)φ(x)=x2\varphi(x)=x^2φ(x)=2x\varphi^\prime(x)=2xf(x,t)x=cos(x+t)\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}=\cos(x + t) ,则 F(x)=sin(x+x2)2x+0x2cos(x+t)dtF^\prime(x)=\sin(x + x^2)\cdot2x+\int_{0}^{x^2}\cos(x + t)dt ,计算积分 0x2cos(x+t)dt=sin(x+x2)sinx\int_{0}^{x^2}\cos(x + t)dt=\sin(x + x^2)-\sin x ,最终结果也是 F(x)=sin(x+x2)(1+2x)sinxF^\prime(x)=\sin(x + x^2)(1 + 2x)-\sin x

更一般形式:设函数 f(x,t)f(x,t) 及其偏导数 f(x,t)x\frac{\partial f(x,t)}{\partial x} 在矩形区域 R={(x,t):axb,αtβ}R = \{(x,t):a\leqslant x\leqslant b,\alpha\leqslant t\leqslant\beta\} 上连续,函数 φ1(t)\varphi_1(t)φ2(t)\varphi_2(t)[α,β][\alpha,\beta] 上可导,且 aφ1(t)φ2(t)ba\leqslant\varphi_1(t)\leqslant\varphi_2(t)\leqslant b ,则函数 F(x)=φ1(x)φ2(x)f(x,t)dtF(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,t)dt 的导数为:
\(F\prime(x)=f(x,\varphi_2(x))\varphi_2\prime(x)-f(x,\varphi_