什么叫向量组等价

向量组等价是线性代数中的一个重要概念，以下为你详细解释：

定义：如果向量组 $\boldsymbol{A}$ 中的每个向量都能由向量组 $\boldsymbol{B}$ 中的向量线性表示，且向量组 $\boldsymbol{B}$ 中的每个向量也能由向量组 $\boldsymbol{A}$ 中的向量线性表示，则称向量组 $\boldsymbol{A}$ 与向量组 $\boldsymbol{B}$ 等价。简单来说，两个向量组可以互相线性表示，它们就等价。

理解示例：假设有向量组 $\boldsymbol{A}:\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}$ 和向量组 $\boldsymbol{B}:\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}$。若存在一组实数 $k_{ij}$（$i = 1,2,\cdots,m$；$j = 1,2,\cdots,n$），使得 $\boldsymbol{a}_{i}=k_{i1}\boldsymbol{b}_{1}+k_{i2}\boldsymbol{b}_{2}+\cdots + k_{in}\boldsymbol{b}_{n}$ 对所有的 $i$ 都成立，这表明向量组 $\boldsymbol{A}$ 可由向量组 $\boldsymbol{B}$ 线性表示；同时，若又存在另一组实数 $l_{ji}$（$j = 1,2,\cdots,n$；$i = 1,2,\cdots,m$），使得 $\boldsymbol{b}_{j}=l_{j1}\boldsymbol{a}_{1}+l_{j2}\boldsymbol{a}_{2}+\cdots + l_{jm}\boldsymbol{a}_{m}$ 对所有的 $j$ 都成立，那么就说明向量组 $\boldsymbol{A}$ 与向量组 $\boldsymbol{B}$ 等价。

性质

反身性：向量组 $\boldsymbol{A}$ 与其自身等价。这是显然的，因为向量组中的向量当然可以由自身向量组线性表示。

对称性：若向量组 $\boldsymbol{A}$ 与向量组 $\boldsymbol{B}$ 等价，则向量组 $\boldsymbol{B}$ 与向量组 $\boldsymbol{A}$ 也等价。这是由等价的定义决定的，既然 $\boldsymbol{A}$ 能与 $\boldsymbol{B}$ 互相线性表示，那么反过来也必然成立。

传递性：若向量组 $\boldsymbol{A}$ 与向量组 $\boldsymbol{B}$ 等价，向量组 $\boldsymbol{B}$ 与向量组 $\boldsymbol{C}$ 等价，则向量组 $\boldsymbol{A}$ 与向量组 $\boldsymbol{C}$ 等价。也就是说，如果 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 能互相线性表示，$\boldsymbol{B}$ 和 $\boldsymbol{C}$ 能互相线性表示，那么 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{C}$ 也能互相线性表示。

 

判定方法：判断两个向量组是否等价，可以通过研究向量组的秩以及向量组之间的线性表示关系来确定。如果向量组 $\boldsymbol{A}$ 和向量组 $\boldsymbol{B}$ 的秩相等，且其中一个向量组可以由另一个向量组线性表示，那么这两个向量组等价。