初中三角形中线长公式лл

三角形中线长公式是用于计算三角形中线长度的公式。对于任意三角形 $ABC$，设角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$，$BC$ 边上的中线为 $AD$（$D$ 为 $BC$ 中点，$BD = DC=\frac{a}{2}$ ），则中线 $AD$ 的长度 $m_a$ 有以下公式：

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}$

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同理，$AC$ 边上的中线 $BE$（$E$ 为 $AC$ 中点 ）长度 $m_b$ 为：

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}$

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$AB$ 边上的中线 $CF$（$F$ 为 $AB$ 中点 ）长度 $m_c$ 为：

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}$

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推导过程（以 $BC$ 边上的中线 $AD$ 为例）：

首先在$\triangle ABD$ 中，根据余弦定理可得：$\cos B = \frac{AB^{2} + BD^{2} - AD^{2}}{2\cdot AB\cdot BD}$

因为 $BD=\frac{a}{2}$，设 $AD = m_a$，所以$\cos B = \frac{c^{2} + (\frac{a}{2})^{2} - m_a^{2}}{2\cdot c\cdot \frac{a}{2}}$

 

在$\triangle ABC$ 中，再根据余弦定理可得：$\cos B = \frac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2ac}$

 

 

由于同一个角 $B$ 的余弦值相等，则：

 

$$\begin{align*} \frac{c^{2} + (\frac{a}{2})^{2} - m_a^{2}}{ac}&=\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2ac}\\ 2(c^{2} + \frac{a^{2}}{4} - m_a^{2})&=c^{2} + a^{2} - b^{2}\\ 2c^{2} + \frac{a^{2}}{2} - 2m_a^{2}&=c^{2} + a^{2} - b^{2}\\ - 2m_a^{2}&=c^{2} + a^{2} - b^{2}-2c^{2}-\frac{a^{2}}{2}\\ - 2m_a^{2}&=-c^{2} +\frac{a^{2}}{2} - b^{2}\\ 2m_a^{2}&=2c^{2}+2b^{2}-a^{2}\\ m_a&=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}} \end{align*}$$

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同理可证得 $m_b$ 和 $m_c$ 的公式 。