1个正12边形,的面积公式是什么?

设正$12$边形的边长为$a$，其面积公式推导如下：

将正$12$边形分割成三角形：

连接正$12$边形的中心与各个顶点，可以把正$12$边形分割成$12$个全等的等腰三角形。

每个等腰三角形的顶角为$\frac{360^{\circ}}{12}=30^{\circ}$ 。

 

求一个等腰三角形的面积：

对于其中一个等腰三角形，设其腰长（也就是正$12$边形外接圆半径）为$R$，根据正弦定理三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$（这里$a = b = R$ ，$C = 30^{\circ}$），则一个等腰三角形的面积$S_1=\frac{1}{2}R\times R\times\sin30^{\circ}=\frac{1}{4}R^{2}$。

若已知正$12$边形边长$a$，可以通过三角函数关系求出$R$与$a$的关系。在等腰三角形中，作底边$a$上的高，将等腰三角形分成两个直角三角形，此时底角为$\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$ 。根据正弦定理$\frac{a}{\sin30^{\circ}} = 2R$，可得$R = a / \sin30^{\circ}=2a$ 。

把$R = 2a$代入$S_1=\frac{1}{4}R^{2}$，得到$S_1 = \frac{1}{4}\times(2a)^{2}=a^{2}$ 。

 

求正$12$边形的面积：

因为正$12$边形由$12$个这样全等的等腰三角形组成，所以正$12$边形面积$S = 12S_1$。

当用边长$a$表示时，正$12$边形面积公式$S = 3a^{2}(2 +\sqrt{3})$

​) 。

 

另外，如果已知正$12$边形外接圆半径$R$，由于一个等腰三角形面积$S_1=\frac{1}{4}R^{2}$，那么正$12$边形面积$S = 12\times\frac{1}{4}R^{2}=3R^{2}$ 。

综上，若已知正$12$边形边长$a$，其面积$S = 3a^{2}(2 +\sqrt{3})$

​)；若已知外接圆半径$R$ ，面积$S = 3R^{2}$ 。