球体的体积是怎么推导出来的?

球体体积公式的推导有多种方法，下面为你介绍常见的两种：

方法一：利用积分法推导

建立模型：

我们把球体放在空间直角坐标系中，球心位于原点$(0,0,0)$，半径为$R$。考虑球体在$xOy$平面上方的半球，其方程为$z = \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$

​。

根据二重积分的几何意义，半球的体积$V_{半球}$等于以半球面$z = \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$

​为顶，以$xOy$平面上的圆$x^{2}+y^{2}\leq R^{2}$为底的曲顶柱体的体积。

我们将直角坐标转化为极坐标，令$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，那么$dxdy = rdr d\theta$，圆$x^{2}+y^{2}\leq R^{2}$在极坐标下表示为$0\leq r\leq R$，$0\leq \theta\leq 2\pi$。

 

计算半球体积的二重积分：

半球体积$V_{半球}=\iint_{D}\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}dxdy$

​dxdy（$D$为$x^{2}+y^{2}\leq R^{2}$），转换为极坐标后为：

$V_{半球}=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}\sqrt{R^{2}-r^{2}}r dr$

​rdr

先计算内层积分$\int_{0}^{R}\sqrt{R^{2}-r^{2}}r dr$

​rdr，令$u = R^{2}-r^{2}$，则$du = - 2r dr$，当$r = 0$时，$u = R^{2}$；当$r = R$时，$u = 0$。

那么$\int_{0}^{R}\sqrt{R^{2}-r^{2}}r dr = -\frac{1}{2}\int_{R^{2}}^{0}\sqrt{u}du = \frac{1}{2}\int_{0}^{R^{2}}u^{\frac{1}{2}}du$

​rdr=−21​∫R20​u

​du=21​∫0R2​u21​du

根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq - 1)$，可得$\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\big|_{0}^{R^{2}}=\frac{1}{3}R^{3}$

​0R2​=31​R3。

再计算外层积分$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}\sqrt{R^{2}-r^{2}}r dr=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{3}R^{3}d\theta=\frac{2\pi}{3}R^{3}$

​rdr=∫02π​31​R3dθ=32π​R3。

 

得到球体体积公式：

因为整个球体体积$V = 2V_{半球}$，所以$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}$。

 

方法二：祖暅原理推导法

祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

构造辅助几何体：

设球体的半径为$R$，我们构造一个底面半径和高都为$R$的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥。

用平行于圆柱底面的平面去截这两个几何体（球体和圆柱挖去圆锥后的组合体）。

设截面与圆柱上底面的距离为$h$。

对于球体，截面圆的半径$r=\sqrt{R^{2}-h^{2}}$

​，则截面面积$S_{球}=\pi r^{2}=\pi (R^{2}-h^{2})$。

对于圆柱挖去圆锥后的组合体，其截面为圆环，外圆半径为$R$，内圆半径为$h$（因为圆锥的母线与底面夹角固定，相似三角形性质可得），则截面面积$S_{组}=\pi R^{2}-\pi h^{2}=\pi (R^{2}-h^{2})$。

 

得出结论：

由祖暅原理可知，球体的体积等于圆柱体积减去圆锥体积。

圆柱体积$V_{柱}=\pi R^{2}\times R=\pi R^{3}$，圆锥体积$V_{锥}=\frac{1}{3}\pi R^{2}\times R=\frac{1}{3}\pi R^{3}$。

所以球体体积$V = V_{柱}-V_{锥}=\pi R^{3}-\frac{1}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R^{3}$ 。