对于一个复数来说,复数的平方等于它模的平方吗?

对于一个复数来说，复数的平方一般不等于它模的平方。

设复数$z = a + bi$，其中$a$，$b$为实数，$i$为虚数单位且$i^2 = - 1$。

 

计算复数的平方：

$z^2=(a + bi)^2$

根据完全平方公式$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$展开可得：$z^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$。

 

 

计算复数的模的平方：

复数$z = a + bi$的模$\vert z\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

​。

那么模的平方$\vert z\vert^2 = (\sqrt{a^{2}+b^{2}})^2 = a^{2}+b^{2}$

​)2=a2+b2 。

 

显然，当$b\neq0$时，$a^2 - b^2 + 2abi\neq a^{2}+b^{2}$，即$z^2\neq\vert z\vert^2$。

只有当$b = 0$，即复数$z$为实数时，$z = a$（$b = 0$），$z^2 = a^2$，$\vert z\vert^2 = a^2$，此时复数的平方才等于它模的平方。

综上，一般情况下复数的平方不等于它模的平方，仅当复数为实数时二者相等。