高数变限积分的解法高数,变限积分的导数应该怎么求啊?_作...

基本变限积分求导公式

对于变上限积分函数$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$，它的导数$F^\prime(x) = f(x)$。这里$a$是常数，$f(t)$是被积函数，$t$是积分变量。通俗理解就是，变上限积分对上限求导，就等于把上限代入被积函数。

例如，若$F(x)=\int_{1}^{x}t^{2}dt$，根据上述公式，$F^\prime(x)=x^{2}$。

对于变下限积分函数$G(x)=\int_{x}^{b}f(t)dt$，它可以变形为$G(x)=-\int_{b}^{x}f(t)dt$，那么它的导数$G^\prime(x)= - f(x)$。

例如，若$G(x)=\int_{x}^{2} \sin tdt=-\int_{2}^{x}\sin tdt$，则$G^\prime(x)=-\sin x$。

 

上下限都是变量的变限积分求导

设$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$，根据牛顿 - 莱布尼茨公式和复合函数求导法则，它的导数$F^\prime(x)=f(v(x))\cdot v^\prime(x)-f(u(x))\cdot u^\prime(x)$。

例如，已知$F(x)=\int_{x^{2}}^{x^{3}}\cos tdt$，这里$u(x)=x^{2}$，$v(x)=x^{3}$，$f(t)=\cos t$。

首先求$u^\prime(x)$和$v^\prime(x)$，$u^\prime(x) = 2x$，$v^\prime(x)=3x^{2}$。

然后根据公式$F^\prime(x)=\cos(x^{3})\cdot3x^{2}-\cos(x^{2})\cdot2x$。

 

 

被积函数中含有求导变量的情况

如果被积函数$f(t,x)$中既含有积分变量$t$又含有求导变量$x$，需要先处理使得被积函数只含积分变量。

例如$\int_{a}^{x}xf(t)dt$，由于$x$对于积分变量$t$来说是常数，可以把$x$提到积分号外面，即$\int_{a}^{x}xf(t)dt = x\int_{a}^{x}f(t)dt$。

然后再求导，根据乘积求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = x$，$v=\int_{a}^{x}f(t)dt$。

$u^\prime = 1$，$v^\prime = f(x)$，所以$(x\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime=\int_{a}^{x}f(t)dt+xf(x)$ 。