四种命题
原命题:我们把最初陈述的命题称为原命题。它是一个完整的判断语句,表达了某种逻辑关系。例如“若,则”这种形式,其中叫做命题的条件,叫做命题的结论 。比如“若一个三角形是等边三角形,则这个三角形的三个内角相等”。
逆命题:将原命题的条件和结论互换位置得到的新命题,叫做原命题的逆命题,即“若,则”。对于上述原命题“若一个三角形是等边三角形,则这个三角形的三个内角相等”,其逆命题为“若一个三角形的三个内角相等,则这个三角形是等边三角形”。
否命题:同时否定原命题的条件和结论所得到的命题,就是原命题的否命题,形式为“若非,则非” 。上述原命题的否命题是“若一个三角形不是等边三角形,则这个三角形的三个内角不都相等”。
逆否命题:把原命题的条件与结论先都否定,然后交换所得,即“若非,则非”。上述原命题的逆否命题是“若一个三角形的三个内角不都相等,则这个三角形不是等边三角形”。
四种命题之间存在一定的相互关系和真假性规律:原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假。
充要条件
充分条件:如果有命题“若,则”,当这个命题为真时,即由可以推出,记作,那么我们就说是的充分条件。例如“若,则”,由能推出,所以是的充分条件。也就是说,只要满足这个条件,就足以保证成立。
必要条件:对于命题“若,则”,如果成立能推出成立,即,那么就是的必要条件。例如“若,则或”,当成立时,不一定等于,但是成立的其中一种可能情况,所以是的必要条件。这意味着如果要使成立,这个条件是必不可少的。
充分不必要条件:若,但,那么就是的充分不必要条件。例如“若,则”,由能推出,但时还可能是,所以是的充分不必要条件。
必要不充分条件:若,但,则是的必要不充分条件。例如“若是整数,则是有理数”,是整数能推出是有理数,但是有理数不能推出一定是整数,所以是整数是是有理数的必要不充分条件。
充要条件:如果既有,又有,即,那么就是的充分必要条件,简称充要条件。此时和在逻辑上是等价的关系。例如“若三角形三边相等,则三角形三个内角相等”,同时“若三角形三个内角相等,则三角形三边相等”,所以“三角形三边相等”是“三角形三个内角相等”的充要条件。