在一元函数中,可导和可微是等价的关系,它们有非常紧密的联系;在多元函数中,可微的条件比可导更严格。以下为你详细阐述:
一元函数
可导必可微:如果函数 y=f(x) 在点 x0 处可导,即 f′(x0)=Δx→0limΔxΔy 存在,那么函数在该点可微。此时函数的增量 Δy 可以表示为 Δy=f′(x0)Δx+o(Δx) ,其中 o(Δx) 是比 Δx 高阶的无穷小。这里 f′(x0)Δx 就是函数的微分 dy ,即 dy=f′(x0)Δx 。
可微必可导:若函数 y=f(x) 在点 x0 处可微,即 Δy=AΔx+o(Δx) (A 是与 Δx 无关的常数),那么 ΔxΔy=A+Δxo(Δx) 。当 Δx→0 时,Δx→0limΔxΔy=A ,也就是函数在 x0 点的导数 f′(x0)=A 存在。
多元函数
以二元函数 z=f(x,y) 为例:
可微则偏导数存在(相当于多元函数中的“可导”):如果函数 z=f(x,y) 在点 (x0,y0) 处可微,那么函数在该点关于 x 和 y 的偏导数 ∂x∂z
(x0,y0) 和 ∂y∂z
(x0,y0) 都存在。函数的全增量 Δz 可以表示为 Δz=∂x∂z
(x0,y0)Δx+∂y∂z
(x0,y0)Δy+o(ρ) ,其中 ρ=(Δx)2+(Δy)2
。
偏导数存在不一定可微:仅仅知道二元函数在某点的偏导数存在,并不能保证函数在该点可微 。偏导数存在只是可微的必要条件而非充分条件。只有当偏导数在该点连续时,函数才一定可微。也就是说,多元函数可微要求函数的变化更为“平滑”,对函数的性质要求更高。
总体而言,一元函数中可导与可微等价,多元函数中可微能推出偏导数存在,但偏导数存在推不出可微 。