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可导和可微的关系是什么?

在一元函数中,可导和可微是等价的关系,它们有非常紧密的联系;在多元函数中,可微的条件比可导更严格。以下为你详细阐述:

一元函数

可导必可微:如果函数 y=f(x)y = f(x) 在点 x0x_0 处可导,即 f(x0)=limΔx0ΔyΔxf^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} 存在,那么函数在该点可微。此时函数的增量 Δy\Delta y 可以表示为 Δy=f(x0)Δx+o(Δx)\Delta y = f^\prime(x_0)\Delta x + o(\Delta x) ,其中 o(Δx)o(\Delta x) 是比 Δx\Delta x 高阶的无穷小。这里 f(x0)Δxf^\prime(x_0)\Delta x 就是函数的微分 dydy ,即 dy=f(x0)Δxdy = f^\prime(x_0)\Delta x

可微必可导:若函数 y=f(x)y = f(x) 在点 x0x_0 处可微,即 Δy=AΔx+o(Δx)\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)AA 是与 Δx\Delta x 无关的常数),那么 ΔyΔx=A+o(Δx)Δx\frac{\Delta y}{\Delta x}=A + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} 。当 Δx0\Delta x \to 0 时,limΔx0ΔyΔx=A\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = A ,也就是函数在 x0x_0 点的导数 f(x0)=Af^\prime(x_0)=A 存在。

多元函数

以二元函数 z=f(x,y)z = f(x,y) 为例:

可微则偏导数存在(相当于多元函数中的“可导”):如果函数 z=f(x,y)z = f(x,y) 在点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处可微,那么函数在该点关于 xxyy 的偏导数 zx(x0,y0)\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(x_0,y_0)}

(x0,y0)zy(x0,y0)\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(x_0,y_0)}

(x0,y0) 都存在。函数的全增量 Δz\Delta z 可以表示为 Δz=zx(x0,y0)Δx+zy(x0,y0)Δy+o(ρ)\Delta z = \frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(x_0,y_0)}\Delta x + \frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(x_0,y_0)}\Delta y + o(\rho)

(x0,y0)Δx+yz

(x0,y0)Δy+o(ρ) ,其中 ρ=(Δx)2+(Δy)2\rho=\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}

偏导数存在不一定可微:仅仅知道二元函数在某点的偏导数存在,并不能保证函数在该点可微 。偏导数存在只是可微的必要条件而非充分条件。只有当偏导数在该点连续时,函数才一定可微。也就是说,多元函数可微要求函数的变化更为“平滑”,对函数的性质要求更高。

总体而言,一元函数中可导与可微等价,多元函数中可微能推出偏导数存在,但偏导数存在推不出可微 。