三次方程求根公式?

一元三次方程的求根公式主要有卡尔丹公式（Cardano's formula）。对于一元三次方程的标准形式 $ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0$（$a\neq0$），可以先通过变换 $x = y-\frac{b}{3a}$ 将其转化为缺项的三次方程 $y^{3}+py + q = 0$ 的形式，其中 $p=\frac{3ac - b^{2}}{3a^{2}}$，$q=\frac{2b^{3}-9abc + 27a^{2}d}{27a^{3}}$。

对于方程 $y^{3}+py + q = 0$，其求根公式如下：
设 $\Delta = (\frac{q}{2})^{2}+(\frac{p}{3})^{3}$，这是判别式。

当 $\Delta>0$ 时：

方程有一个实根和一对共轭虚根。

实根为 $y_{1}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}$

​

​+3−2q​−Δ

​

​。

虚根为 $y_{2}=\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\omega^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}$

​

​+ω23−2q​−Δ

​

​。

$y_{3}=\omega^{2}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}$

​

​+ω3−2q​−Δ

​

​。
其中 $\omega = -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

​​，$\omega^{2}= -\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$

​​，$i$ 为虚数单位，满足 $i^{2}=-1$。

 

当 $\Delta = 0$ 时：

方程有三个实根，且至少有两个根相等。

实根为 $y_{1}=2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}$

​，$y_{2}=y_{3}=-\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}$

​。

 

当 $\Delta<0$ 时：

方程有三个不相等的实根。

此时可利用三角函数来表示根，令 $\cos\theta = \frac{-q/2}{\sqrt{-(p/3)^{3}}}$

​−q/2​，则 $y_{1}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos\frac{\theta}{3}$

​cos3θ​，$y_{2}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos(\frac{\theta + 2\pi}{3})$

​cos(3θ+2π​)，$y_{3}=2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cos(\frac{\theta + 4\pi}{3})$

​cos(3θ+4π​)。

 

求出 $y$ 的值后，再根据 $x = y-\frac{b}{3a}$ 就可以得到原方程 $ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0$ 的根 $x$。