命题的否定与否命题的差别

命题的否定与否命题是两个不同的概念，它们的主要差别如下：

概念定义

命题的否定：对原命题的结论进行否定，不否定条件。它只否定原命题的判断内容，而保持条件不变。

例如，对于命题“若$p$，则$q$”，其命题的否定是“若$p$，则非$q$” 。

 

否命题：既要否定原命题的条件，又要否定原命题的结论。

对于命题“若$p$，则$q$”，其否命题是“若非$p$，则非$q$”。

 

真假性

命题的否定：命题的否定与原命题的真假性始终相反。

比如原命题“所有的正方形都是矩形”（真命题），其命题的否定“存在一个正方形不是矩形”（假命题）。

 

否命题：否命题的真假性与原命题的真假性没有必然联系。

例如原命题“若$x > 2$，则$x > 1$”（真命题），其否命题“若$x\leqslant2$，则$x\leqslant1$”（假命题） ；再如原命题“若$a = 0$，则$ab = 0$”（真命题），其否命题“若$a\neq0$，则$ab\neq0$”（假命题），但也存在原命题和否命题同真同假的情况。

 

语言表达形式

命题的否定：在表述上通常是直接对结论进行否定，相对简洁。

例如命题“三角形内角和等于$180^{\circ}$”，其命题的否定是“三角形内角和不等于$180^{\circ}$”。

 

否命题：需要同时改变条件和结论的表述。

例如命题“若$x$是偶数，则$x$能被$2$整除”，其否命题是“若$x$不是偶数，则$x$不能被$2$整除”。