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根号x的导数怎么求

2025-04-13 早教访问手机版

我们可以利用求导公式和导数的定义两种方法来求 $\sqrt{x}$

的导数。

方法一：利用求导公式

首先将 $\sqrt{x}$

进行变形：
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

=x21。

然后根据幂函数求导公式 $(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$ 来求导：
对于 $y = x^{\frac{1}{2}}$ ，这里 $n = \frac{1}{2}$ ，将 $n=\frac{1}{2}$ 代入幂函数求导公式可得：
$y^\prime=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$ 。
计算 $\frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}$ ，所以 $y^\prime=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ 。
进一步化简， $x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$

1，那么 $y^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

1，即 $(\sqrt{x})^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

)′=2x

1 。

方法二：利用导数定义

导数的定义为函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 。
对于 $y = \sqrt{x}$

，设 $f(x)=\sqrt{x}$

，那么 $f(x+\Delta x)=\sqrt{x+\Delta x}$

。
则 $f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}$

−x

。

对分子进行有理化：
给 $\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}$

−x

的分子分母同时乘以 $\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}$

，得到：
$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x})(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}$

)(x+Δx

−x

)(x+Δx

)。
根据平方差公式 $(a - b)(a + b)=a^2 - b^2$ ，这里 $a=\sqrt{x+\Delta x}$

， $b = \sqrt{x}$

，则分子 $(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x})(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})=(x+\Delta x)-x=\Delta x$

−x

)(x+Δx

)=(x+Δx)−x=Δx。
所以原式变为 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}$

)Δx。

化简并求极限：
消去分子分母中的 $\Delta x$ ，得到 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}$

1。
当 $\Delta x \to 0$ 时， $\sqrt{x+\Delta x} \to \sqrt{x}$

→x

，所以 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

1=x

1=2x

1。

综上， $\sqrt{x}$

的导数是 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

1。

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