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两个向量相乘怎么乘,

2025-04-13 早教 访问手机版

向量相乘分为两种情况：数量积（点积）和向量积（叉积），下面分别介绍：

数量积（点积）

定义：已知两个非零向量 a⃗\vec{a}

与 b⃗\vec{b}

，它们的夹角为 θ\theta（0⩽θ⩽π0\leqslant\theta\leqslant\pi），那么 a⃗\vec{a}

与 b⃗\vec{b}

的数量积（点积）是一个数量，记作 a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}

⋅b

，且 a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta

⋅b

=∣a

∣∣b

∣cosθ ，其中 ∣a⃗∣\vert\vec{a}\vert

∣ 和 ∣b⃗∣\vert\vec{b}\vert

∣ 分别表示向量 a⃗\vec{a}

和 b⃗\vec{b}

的模（长度）。

几何意义：a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}

⋅b

等于 a⃗\vec{a}

的长度 ∣a⃗∣\vert\vec{a}\vert

∣ 与 b⃗\vec{b}

在 a⃗\vec{a}

方向上的投影 ∣b⃗∣cos⁡θ\vert\vec{b}\vert\cos\theta

∣cosθ 的乘积。

坐标运算：若 a⃗=(x1,y1)\vec{a}=(x_1,y_1)

=(x1​,y1​) ，b⃗=(x2,y2)\vec{b}=(x_2,y_2)

=(x2​,y2​) ，则 a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2

⋅b

=x1​x2​+y1​y2​ 。

例如，已知 a⃗=(2,3)\vec{a}=(2,3)

=(2,3) ，b⃗=(4,−1)\vec{b}=(4, - 1)

=(4,−1) ，则 a⃗⋅b⃗=2×4+3×(−1)=8−3=5\vec{a}\cdot\vec{b}=2×4 + 3×(-1)=8 - 3 = 5

⋅b

=2×4+3×(−1)=8−3=5 。

向量积（叉积）

定义：对于两个向量 a⃗\vec{a}

和 b⃗\vec{b}

，它们的向量积（叉积）是一个向量，记作 a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}

×b

。其模长为 ∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\sin\theta

×b

∣=∣a

∣∣b

∣sinθ ，其中 θ\theta 为 a⃗\vec{a}

与 b⃗\vec{b}

的夹角（0⩽θ⩽π0\leqslant\theta\leqslant\pi），方向垂直于 a⃗\vec{a}

与 b⃗\vec{b}

所确定的平面，并且 a⃗\vec{a}

，b⃗\vec{b}

，a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}

×b

构成右手系（即伸出右手，四指从 a⃗\vec{a}

指向 b⃗\vec{b}

，大拇指的方向就是 a⃗×b⃗\vec{a}\times\vec{b}

×b

的方向）。

几何意义：∣a⃗×b⃗∣\vert\vec{a}\times\vec{b}\vert

×b

∣ 的值等于以 a⃗\vec{a}

和 b⃗\vec{b}

为邻边的平行四边形的面积。

坐标运算：在三维空间中，若 a⃗=(x1,y1,z1)\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)

=(x1​,y1​,z1​) ，b⃗=(x2,y2,z2)\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)

=(x2​,y2​,z2​) ，则

a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗x1y1z1x2y2z2∣\vec{a}\times\vec{b}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2 \end{array}\right|

×b

=

​i

x1​x2​​j

​y1​y2​​k

z1​z2​​

​

其中 i⃗\vec{i}

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