根号下2、3、根号下28、根号下65、?数字推理题

这是一道数字推理题，破题点在于对所给数字进行变形，找出其内在规律。

对已知数字进行变形

$\sqrt{2}$

​：可写成$\sqrt{1^{2}+1}$

​。

$3$：写成$\sqrt{9}$

​，进一步写成$\sqrt{2^{2}+5}$

​。

$\sqrt{28}$

​：写成$\sqrt{4^{2}+12}$

​。

$\sqrt{65}$

​：写成$\sqrt{8^{2}+1}$

​ 。

分析根号下数字的规律

底数规律：根号下数字的底数依次为$1$、$2$、$4$、$8$，呈现出后一项是前一项$2$倍的规律，所以下一项根号下数字的底数应为$8\times2 = 16$。

加数规律：根号下数字的加数依次为$1$、$5$、$12$、$1$，相邻两项差值分别为$5 - 1 = 4$，$12 - 5 = 7$，$1 - 12 = -11$，此时看不出明显规律。换个角度，考虑相邻两项的差再做差，$7 - 4 = 3$，$-11 - 7 = -18$，还是无明显规律。重新观察原数列，发现$1 + 5 = 6$，$5 + 12 = 17$，$12 + 1 = 13$，也无明显规律。再次尝试，对原数列各项减去对应底数的平方，得到$1$、$5$、$12$、$1$，相邻两项做差得$4$、$7$、$-11$，再做差得$3$、$-18$，依旧无规律。重新审视，发现原数列各项减去对应底数的平方后，$1$、$5$、$12$、$1$，相邻两项差值的绝对值有$4$、$7$、$11$，$4 + 7 = 11$，推测下一个差值的绝对值为$7 + 11 = 18$，因为前面差值正负交替，所以下一个差值为$18$，那么下一个加数为$1 + 18 = 19$。

得出结论

下一项为$\sqrt{16^{2}+19}=\sqrt{256 + 19}=\sqrt{275}$

​=256+19

​=275

​ 。

综上，问号处应填$\sqrt{275}$

​ 。