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求所有的和差化积公式和奇化和差公式.

2025-04-14 早教 访问手机版

和差化积公式

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}

推导思路：

令x=α+β2x=\frac{\alpha + \beta}{2}，y=α−β2y=\frac{\alpha - \beta}{2}，则α=x+y\alpha=x + y，β=x−y\beta=x - y。

sin⁡α+sin⁡β=sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)\sin\alpha+\sin\beta=\sin(x + y)+\sin(x - y)。

根据两角和与差的正弦公式sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B，sin⁡(A−B)=sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin(A - B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B，可得sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)=(sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y)+(sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y)=2sin⁡xcos⁡y\sin(x + y)+\sin(x - y)=(\sin x\cos y+\cos x\sin y)+(\sin x\cos y-\cos x\sin y)=2\sin x\cos y。

再把x=α+β2x=\frac{\alpha + \beta}{2}，y=α−β2y=\frac{\alpha - \beta}{2}代回，就得到sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}。

 

 

sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}

推导思路：

同样令x=α+β2x=\frac{\alpha + \beta}{2}，y=α−β2y=\frac{\alpha - \beta}{2}，则α=x+y\alpha=x + y，β=x−y\beta=x - y。

sin⁡α−sin⁡β=sin⁡(x+y)−sin⁡(x−y)\sin\alpha-\sin\beta=\sin(x + y)-\sin(x - y)。

由两角和与差的正弦公式可得sin⁡(x+y)−sin⁡(x−y)=(sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y)−(sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y)=2cos⁡xsin⁡y\sin(x + y)-\sin(x - y)=(\sin x\cos y+\cos x\sin y)-(\sin x\cos y-\cos x\sin y)=2\cos x\sin y。

代回x=α+β2x=\frac{\alpha + \beta}{2}，y=α−β2y=\frac{\alpha - \beta}{2}，即sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2\sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}。

 

 

cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}

推导思路：

令x=α+β2x=\frac{\alpha + \beta}{2}，y=α−β2y=\frac{\alpha - \beta}{2}，α=x+y\alpha=x + y，β=x−y\beta=x - y。

cos⁡α+cos⁡β=cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)\cos\alpha+\cos\beta=\cos(x + y)+\cos(x - y)。

根据两角和与差的余弦公式cos⁡(A+B)=cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B，cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A - B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B，则cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)=(cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y)+(cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y)=2cos⁡xcos⁡y\cos(x + y)+\cos(x - y)=(\cos x\cos y-\sin x\sin y)+(\cos x\cos y+\sin x\sin y)=2\cos x\cos y。

代回x=α+β2x=\frac{\alpha + \beta}{2}，y=α−β2y=\frac{\alpha - \beta}{2}，得到cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}。

 

 

cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}

推导思路：

令x=α+β2x=\frac{\alpha + \beta}{2}，y=α−β2y=\frac{\alpha - \beta}{2}，α=x+y\alpha=x + y，β=x−y\beta=x - y。

cos⁡α−cos⁡β=cos⁡(x+y)−cos⁡(x−y)\cos\alpha-\cos\beta=\cos(x + y)-\cos(x - y)。

由两角和与差的余弦公式可得cos⁡(x+y)−cos⁡(x−y)=(cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡y)−(cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y)=−2sin⁡xsin⁡y\cos(x + y)-\cos(x - y)=(\cos x\cos y-\sin x\sin y)-(\cos x\cos y+\sin x\sin y)= - 2\sin x\sin y。

代回x=α+β2x=\frac{\alpha + \beta}{2}，y=α−β2y=\frac{\alpha - \beta}{2}，即cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}。

 

 

积化和差公式

sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha - \beta)]

推导思路：

已知sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B，sin⁡(A−B)=sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin(A - B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B。

将两式相加得：sin⁡(A+B)+sin⁡(A−B)=2sin⁡Acos⁡B\sin(A + B)+\sin(A - B)=2\sin A\cos B。

两边同时除以2，令A=αA=\alpha，B=βB = \beta，就得到sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha - \beta)]。

 

 

cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha - \beta)]

推导思路：

由sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B，sin⁡(A−B)=sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin(A - B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B。

用sin⁡(A+B)−sin⁡(A−B)\sin(A + B)-\sin(A - B)可得：sin⁡(A+B)−sin⁡(A−B)=2cos⁡Asin⁡B\sin(A + B)-\sin(A - B)=2\cos A\sin B。

两边同时除以2，令A=αA=\alpha，B=βB = \beta，即\(\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta

 

 

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