有关双曲线的公式

双曲线是平面内到两个定点$F_1,F_2$的距离之差的绝对值等于定值（小于$|F_1F_2|$且大于$0$）的点的轨迹。以下是双曲线的一些常见公式：

标准方程

焦点在$x$轴上：$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0$，$b\gt0$），其中$a$为双曲线的实半轴长 ，$b$为双曲线的虚半轴长。两焦点坐标分别为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，且满足$c^2 = a^2 + b^2$。

焦点在$y$轴上：$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$（$a\gt0$，$b\gt0$），两焦点坐标分别为$F_1(0, - c)$，$F_2(0,c)$，同样满足$c^2 = a^2 + b^2$。

双曲线的性质相关公式

渐近线方程

焦点在$x$轴上时，渐近线方程为$y = \pm\frac{b}{a}x$。

焦点在$y$轴上时，渐近线方程为$y = \pm\frac{a}{b}x$ 。

 

离心率：$e = \frac{c}{a}$（$e\gt1$），离心率反映了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越开阔。

准线方程

焦点在$x$轴上时，准线方程为$x = \pm\frac{a^{2}}{c}$。

焦点在$y$轴上时，准线方程为$y = \pm\frac{a^{2}}{c}$。

 

焦半径公式

设双曲线上一点$P(x_0,y_0)$，对于双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（焦点在$x$轴）：

若点$P$在右支上，则$\vert PF_1\vert = ex_0 + a$，$\vert PF_2\vert = ex_0 - a$；

若点$P$在左支上，则$\vert PF_1\vert = - (ex_0 + a)$，$\vert PF_2\vert = -(ex_0 - a)$。

 

对于双曲线$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$（焦点在$y$轴）：

若点$P$在上支上，则$\vert PF_1\vert = ey_0 + a$，$\vert PF_2\vert = ey_0 - a$；

若点$P$在下支上，则$\vert PF_1\vert = - (ey_0 + a)$，$\vert PF_2\vert = -(ey_0 - a)$。
其中$F_1,F_2$为双曲线的左右（或上下）焦点，$e$为离心率。

 

 

弦长公式

设直线与双曲线相交于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点。

若直线斜率$k$存在，弦长$\vert AB \vert = \sqrt{1 + k^{2}}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^{2} - 4x_1x_2}$

​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​

​。这里$x_1,x_2$ 是直线与双曲线联立方程组消去$y$后所得一元二次方程的两根，可通过韦达定理得到$x_1 + x_2$与$x_1x_2$的值。

若直线斜率不存在，弦长$\vert AB \vert = \vert y_1 - y_2\vert$，此时$y_1,y_2$是直线与双曲线联立方程组消去$x$后所得方程的两根。