根号的导数怎么求?

首先将根号形式转化为幂函数形式：

根号一般指算术平方根，$\sqrt{x}$

​可以写成$x^{\frac{1}{2}}$的形式。

 

然后根据幂函数求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$来求导：

对于$y = x^{\frac{1}{2}}$，这里$n=\frac{1}{2}$。

根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，对$y = x^{\frac{1}{2}}$求导，可得$y^\prime=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$。

计算$\frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}$，所以$y^\prime=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$。

进一步化简，$x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$

​1​，那么$y^\prime=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

​1​ 。

 

如果是更一般的$\sqrt{u}$

​（$u$是关于$x$的函数），根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime = f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$。

令$y = \sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$

​=u21​，先对$y$关于$u$求导，$y^\prime_{u}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{u}}$

​1​。

再对$u$关于$x$求导，设为$u^\prime_{x}$。

那么$(\sqrt{u})^\prime=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u^\prime_{x}$

​)′=2u

​1​⋅ux′​ 。

综上，$\sqrt{x}$

​的导数是$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

​1​；$\sqrt{u}$

​（$u$是关于$x$的函数）的导数是$\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u^\prime$

​1​⋅u′ 。