三角函数导数公式

以下是常见三角函数的导数公式：

正弦函数：$(\sin x)^\prime = \cos x$

推导过程：根据导数的定义$f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$，对于$y = \sin x$，则有$y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x}$。

利用三角函数两角和公式$\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$，可得$\sin(x + \Delta x)=\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x$。

代入导数定义式得：$y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x - \sin x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} (\sin x\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}+\cos x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x})$。

根据极限$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}=0$和$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\Delta x}{\Delta x}=1$，最终得出$(\sin x)^\prime = \cos x$ 。

 

余弦函数：$(\cos x)^\prime = -\sin x$

同样根据导数定义$y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x}$。

利用两角和公式$\cos(A + B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$，即$\cos(x + \Delta x)=\cos x\cos\Delta x-\sin x\sin\Delta x$。

代入导数定义式并化简：$y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x\cos\Delta x-\sin x\sin\Delta x - \cos x}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} (\cos x\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x}-\sin x\frac{\sin\Delta x}{\Delta x})$。

结合上述极限值，得到$(\cos x)^\prime = -\sin x$。

 

正切函数：$(\tan x)^\prime=\sec^{2}x$

因为$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}$（这里$u = \sin x$，$u^\prime=\cos x$；$v = \cos x$，$v^\prime = -\sin x$）。

则$(\tan x)^\prime=\frac{(\sin x)^\prime\cos x - \sin x(\cos x)^\prime}{\cos^{2}x}=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x}$。

由于$\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$，所以$(\tan x)^\prime=\frac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x$。

 

余切函数：$(\cot x)^\prime = -\csc^{2}x$

因为$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$，再次利用除法求导公式。

$u = \cos x$，$u^\prime = -\sin x$；$v = \sin x$，$v^\prime=\cos x$。

则$(\cot x)^\prime=\frac{(\cos x)^\prime\sin x - \cos x(\sin x)^\prime}{\sin^{2}x}=\frac{-\sin x\cdot\sin x - \cos x\cdot\cos x}{\sin^{2}x}=-\frac{\sin^{2}x+\cos^{2}x}{\sin^{2}x}$。

由$\sin^{2}x+\cos^{2}x = 1$，可得$(\cot x)^\prime = -\csc^{2}x$ 。

 

正割函数：$(\sec x)^\prime=\sec x\tan x$

由于$\sec x=\frac{1}{\cos x}$，根据复合函数求导法则$(\frac{1}{v})^\prime = -\frac{v^\prime}{v^{2}}$（这里$v = \cos x$，$v^\prime = -\sin x$）。

所以$(\sec x)^\prime=-\frac{(-\sin x)}{\cos^{2}x}=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=\sec x\tan x$。

 

余割函数：$(\csc x)^\prime = -\csc x\cot x$

因为$\csc x=\frac{1}{\sin x}$，同样根据复合函数求导法则$(\frac{1}{v})^\prime = -\frac{v^\prime}{v^{2}}$（这里$v = \sin x$，$v^\prime=\cos x$）。

则$(\csc x)^\prime=-\frac{\cos x}{\sin^{2}x}=-\frac{1}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=-\csc x\cot x$ 。