函数可导与连续的关系

函数可导与连续存在紧密的关系，具体如下：

可导一定连续

如果函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，那么它在点 $x_0$ 处一定连续。
证明如下：
已知函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，根据导数的定义，$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在（其中 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$）。
则 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\Delta y=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\left[\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x\right]$
因为 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^\prime(x_0)$（导数存在），$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\Delta x = 0$
所以 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\Delta y = f^\prime(x_0)\times0 = 0$
即 $\lim\limits_{\Delta x \to 0}[f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$，也就是 $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$，这满足函数在某点连续的定义，所以函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续 。

例如，函数 $f(x)=x^2$，其导数 $f^\prime(x) = 2x$，在任意一点 $x=a$ 处都可导，$f^\prime(a)=2a$。同时，$\lim\limits_{x \to a}f(x)=\lim\limits_{x \to a}x^2 = a^2 = f(a)$，说明函数 $f(x)=x^2$ 在任意一点都是连续的。

连续不一定可导

函数在某点连续只是函数在该点可导的必要条件而非充分条件。也就是说，即使函数在某点连续，它在该点也不一定可导。常见的不可导情况有以下几种：

函数在某点的左右导数不相等：
例如绝对值函数 $y = |x|$，在 $x = 0$ 处连续，$\lim\limits_{x \to 0}|x| = 0 = |0|$。
但是在 $x = 0$ 处的左导数为：$\lim\limits_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{|0 + \Delta x|-|0|}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1$；
右导数为：$\lim\limits_{\Delta x \to 0^{+}}\frac{|0 + \Delta x|-|0|}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^{+}}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$。
左右导数不相等，所以函数 $y = |x|$ 在 $x = 0$ 处不可导。

函数在某点的切线垂直于 $x$ 轴：
比如函数 $y=\sqrt[3]{x}$

​，在 $x = 0$ 处连续，$\lim\limits_{x \to 0}\sqrt[3]{x}=0$

​=0。
其导数 $y^\prime=\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$，当 $x = 0$ 时，导数 $y^\prime$ 的分母为 $0$，导数不存在，即在 $x = 0$ 处不可导 。