什么是有理数和无理数?

有理数和无理数是实数的两大组成部分，它们的定义和特点如下：

有理数

有理数是整数（正整数、$0$、负整数）和分数的统称。任何一个有理数都可以写成分数$\frac{p}{q}$（$p$、$q$都是整数，且$q≠0$）的形式。

整数：像$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$等这样的数都是整数，它们都可以看作分母为$1$的分数，例如$5 = \frac{5}{1}$，$-2 = \frac{-2}{1}$，所以整数属于有理数。

分数：包括有限小数和无限循环小数，例如$\frac{1}{2}=0.5$（有限小数），$\frac{1}{3}=0.\dot{3}$（无限循环小数），这些都属于有理数。有限小数可以直接写成分母是$10$、$100$、$1000\cdots$ 的分数，然后化简；无限循环小数也有特定的方法转化为分数。

无理数

无理数，也称为无限不循环小数。不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

开方开不尽的数：例如$\sqrt{2}$

​，$\sqrt{3}$

​，$\sqrt[3]{5}$

​等。以$\sqrt{2}$

​为例，它的小数形式是$1.414213562373095\cdots$ ，是无限不循环的。

特定规律的无限不循环小数：如圆周率$\pi = 3.141592653589793\cdots$ ，自然常数$e = 2.718281828459045\cdots$ ，这些数小数点后的数字没有循环节，是典型的无理数。