行列式的定义是什么

行列式是一个函数，它将一个 $n\times n$ 的方阵 $A$ 映射到一个标量，记作 $\vert A\vert$ 或 $det(A)$。以下从不同角度为你介绍行列式的定义：

二阶行列式

对于二阶方阵 $A = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$，其行列式定义为：
$\vert A\vert=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

​a11​a21​​a12​a22​​

​=a11​a22​−a12​a21​

三阶行列式

对于三阶方阵 $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$

​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​

​，其行列式定义为：

$$\begin{align*} \vert A\vert&=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\\ &= a_{11}\times\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\times\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\times\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\\ &=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) \end{align*}$$

​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​

​=a11​×

​a22​a32​​a23​a33​​

​−a12​×

​a21​a31​​a23​a33​​

​+a13​×

​a21​a31​​a22​a32​​

​=a11​(a22​a33​−a23​a32​)−a12​(a21​a33​−a23​a31​)+a13​(a21​a32​−a22​a31​)​

$n$ 阶行列式（递归定义）

余子式与代数余子式：

对于 $n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$，划去元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列后，剩下的 $(n - 1)\times(n - 1)$ 阶方阵的行列式，称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。

元素 $a_{ij}$ 的代数余子式定义为 $A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$。

 

定义：

$n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$ 的行列式 $\vert A\vert$ 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即按第 $i$ 行展开有 $\vert A\vert=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}$，$(i = 1,2,\cdots,n)$；按第 $j$ 列展开有 $\vert A\vert=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}$，$(j = 1,2,\cdots,n)$ 。

 

基于排列逆序数的定义

排列与逆序数：

由 $1,2,\cdots,n$ 组成的一个有序数组 $j_1j_2\cdots j_n$ 称为一个 $n$ 级排列。

在一个排列 $j_1j_2\cdots j_n$ 中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，记为 $\tau(j_1j_2\cdots j_n)$。

 

定义：

$n$ 阶方阵 $A=(a_{ij})$ 的行列式定义为 $\vert A\vert=\sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$，其中 $\sum_{j_1j_2\cdots j_n}$ 表示对所有 $n$ 级排列 $j_1j_2\cdots j_n$ 求和。

 

行列式在求解线性方程组、求矩阵的逆、判断向量组的线性相关性以及计算线性变换的特征值等诸多线性代数问题中都有着至关重要的作用。