整式的运算包括哪些?

整式的运算包括整式的加减、乘除以及乘方运算：

整式的加减

实质是合并同类项。同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。比如$3x^2y$ 与$-5x^2y$就是同类项。在进行整式加减时，只需将同类项的系数相加减，字母和指数保持不变。例如：计算$(3x^2 + 2x - 5) + (4x^2 - 3x + 1)$，先去括号得$3x^2 + 2x - 5 + 4x^2 - 3x + 1$，然后合并同类项，$(3x^2 + 4x^2)+(2x - 3x)+(-5 + 1)=7x^2 - x - 4$。

整式的乘法

单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。例如：$2xy\cdot3x^2y^3=(2\times3)\cdot(x\cdot x^2)\cdot(y\cdot y^3)=6x^{1 + 2}y^{1 + 3}=6x^3y^4$。

单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。例如：$2x(3x^2 - 4x + 5)=2x\cdot3x^2 - 2x\cdot4x + 2x\cdot5 = 6x^3 - 8x^2 + 10x$。

多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。例如：$(x + 2)(3x - 1)=x\cdot3x - x\cdot1 + 2\cdot3x - 2\times1 = 3x^2 - x + 6x - 2 = 3x^2 + 5x - 2$。

整式的除法

单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。例如：$12x^3y^2\div3xy=(12\div3)\cdot(x^3\div x)\cdot(y^2\div y)=4x^{3 - 1}y^{2 - 1}=4x^2y$。

多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。例如：$(6x^3 - 9x^2 + 3x)\div3x = 6x^3\div3x - 9x^2\div3x + 3x\div3x = 2x^2 - 3x + 1$。

整式的乘方

对于幂的乘方，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n = a^{mn}$（$m$、$n$ 都是正整数），例如$(x^2)^3 = x^{2×3}=x^6$ 。对于积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘，即$(ab)^n = a^n b^n$（$n$ 是正整数），例如$(2xy)^3 = 2^3\cdot x^3\cdot y^3 = 8x^3y^3$ 。