对数函数的性质?

对数函数是指数函数的反函数，其一般形式为 $y = \log_{a}x$（$a＞0$且$a≠1$），$x$是自变量 ，定义域是$(0, +\infty)$。对数函数有以下重要性质：

定义域与值域

定义域：对数函数 $y = \log_{a}x$ 的定义域为$(0, +\infty)$。这是因为对数运算中真数必须大于零，即对于$y = \log_{a}x$，只有当 $x＞0$ 时，函数才有意义。

值域：对数函数的值域是全体实数$R$。无论底数 $a$ 取何值（$a＞0$且$a≠1$），$y = \log_{a}x$ 的函数值可以取到任意实数。

函数图象

恒过定点：对数函数 $y = \log_{a}x$ 的图象恒过定点$(1,0)$。这是因为当 $x = 1$ 时，无论 $a$ 为何值（$a＞0$且$a≠1$），$\log_{a}1 = 0$。

位置分布：

当 $a＞1$ 时，对数函数 $y = \log_{a}x$ 在$(0, +\infty)$上单调递增。函数图象从左至右逐渐上升，在$x$轴上方无限趋近于$x$轴正半轴（但不相交），在$x$轴右侧无限向上延伸。

当 $0＜a＜1$ 时，对数函数 $y = \log_{a}x$ 在$(0, +\infty)$上单调递减。函数图象从左至右逐渐下降，在$x$轴上方无限趋近于$x$轴正半轴（但不相交），在$x$轴右侧无限向下延伸。

 

单调性

当$a＞1$时：对数函数 $y = \log_{a}x$ 是增函数。对于任意的$x_1,x_2\in(0, +\infty)$ ，如果$x_1＜x_2$，那么$\log_{a}x_1＜\log_{a}x_2$。这意味着随着自变量 $x$ 的增大，函数值 $y$ 也随之增大。

当$0＜a＜1$时：对数函数 $y = \log_{a}x$ 是减函数。对于任意的$x_1,x_2\in(0, +\infty)$ ，如果$x_1＜x_2$，那么$\log_{a}x_1＞\log_{a}x_2$。即随着自变量 $x$ 的增大，函数值 $y$ 反而减小。

函数值的正负情况

当$a＞1$时：

若 $x＞1$，则$\log_{a}x＞0$；

若 $x = 1$，则$\log_{a}x = 0$；

若 $0＜x＜1$，则$\log_{a}x＜0$。

 

当$0＜a＜1$时：

若 $x＞1$，则$\log_{a}x＜0$；

若 $x = 1$，则$\log_{a}x = 0$；

若 $0＜x＜1$，则$\log_{a}x＞0$。

 

对数运算性质

基本运算法则：

$\log_{a}(MN)=\log_{a}M + \log_{a}N$（$M＞0$，$N＞0$），即两个正数乘积的对数等于这两个数对数的和。

$\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M - \log_{a}N$（$M＞0$，$N＞0$），也就是两个正数商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。

$\log_{a}M^n = n\log_{a}M$（$M＞0$），一个正数幂的对数等于幂指数乘以这个数的对数。

 

换底公式：$\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$（$a＞0$且$a≠1$；$c＞0$且$c≠1$；$b＞0$）。换底公式可以将不同底数的对数转化为相同底数的对数进行计算，在实际运算中非常有用。例如，常用的换底是换成以$10$为底（常用对数）或$e$为底（自然对数）。