三角形外接圆半径怎么求

求三角形外接圆半径有多种方法，以下为你详细介绍：

已知三角形三边

若已知三角形三边长度分别为$a$、$b$、$c$ ，可先根据海伦公式求出三角形面积$S$，再利用公式$R = \frac{abc}{4S}$求出外接圆半径$R$。

海伦公式求三角形面积：

首先计算半周长$s = \frac{a + b + c}{2}$。

然后根据海伦公式$S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$

​得出三角形面积$S$。

例如，对于三边分别为$3$、$4$、$5$的直角三角形，半周长$s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$，其面积$S = \sqrt{6×(6 - 3)×(6 - 4)×(6 - 5)} = \sqrt{6×3×2×1} = 6$

​=6×3×2×1

​=6 。

 

计算外接圆半径：

将$a$、$b$、$c$以及求出的$S$代入公式$R = \frac{abc}{4S}$ 。

对于上述三边为$3$、$4$、$5$的三角形，$R = \frac{3×4×5}{4×6} = \frac{5}{2}$ 。

 

已知三角形的一边和这边所对的角

若已知三角形的一边长为$a$ ，这边所对的角为$A$ ，则外接圆半径$R$的计算公式为$R = \frac{a}{2\sin A}$ 。

例如，在$\triangle ABC$中，已知$a = 6$ ，$\angle A = 60^{\circ}$ ，因为$\sin A = \sin60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

​​ ，根据公式可得$R = \frac{6}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}$

​​6​=23

​ 。

直角三角形求外接圆半径

对于直角三角形，其外接圆半径$R$等于斜边的一半。

设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$ ，斜边为$c$ ，根据勾股定理$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

​ ，则外接圆半径$R = \frac{c}{2}$ 。

例如，直角三角形两直角边分别为$6$和$8$ ，根据勾股定理斜边$c = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$

​=10 ，那么外接圆半径$R = \frac{10}{2} = 5$ 。