0.9循环=1吗?3除以3=0.9循环?

0.9循环等于1，3÷3 = 1而不是0.9循环 。以下是对0.9循环等于1的证明：

方法一：利用等式运算

设 $x = 0.\dot{9}$（$0.\dot{9}$表示0.9循环） 。

那么 $10x = 9.\dot{9}$。

用 $10x - x$可得：$10x - x = 9.\dot{9} - 0.\dot{9}$。

即 $9x = 9$，两边同时除以9，解得 $x = 1$，所以 $0.\dot{9}=1$。

 

方法二：根据分数原理

$0.9$循环可以写成无穷等比数列的和。 $0.9 = \frac{9}{10}$，$0.09=\frac{9}{100}$，$0.009 = \frac{9}{1000}\cdots$

0.9循环就是首项 $a_1=\frac{9}{10}$，公比 $q = \frac{1}{10}$ 的无穷等比数列的所有项和。

根据无穷等比数列求和公式 $S = \frac{a_1}{1 - q}$（$\vert q\vert\lt1$ ），将 $a_1=\frac{9}{10}$，$q = \frac{1}{10}$代入可得：$S=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}} = 1$，所以 $0.\dot{9}=1$ 。

 

而在常规数学运算中，3÷3按照整数除法运算规则，结果为1 。在除法运算中如果出现循环小数情况往往是除数和被除数不能整除导致的，但3÷3是可以整除的，不存在0.9循环这种结果 。