正弦函数全部的公式有哪些?

正弦函数相关公式众多，以下为您分类介绍：

基本定义公式

在直角三角形中，对于锐角$\alpha$，$\sin\alpha=\frac{对边}{斜边}$。

在平面直角坐标系中，设角$\alpha$终边上一点$P(x,y)$，$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

​，则$\sin\alpha = \frac{y}{r}$。

诱导公式

$\sin(2k\pi + \alpha)=\sin\alpha$，$k\in Z$

$\sin(\pi + \alpha)= -\sin\alpha$

$\sin(-\alpha)= -\sin\alpha$

$\sin(\pi - \alpha)=\sin\alpha$

$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)=\cos\alpha$

$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)=\cos\alpha$

两角和与差公式

$\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

二倍角公式

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

由$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$可得$\sin2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1 + \tan^{2}\alpha}$（通过$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2}\alpha}}$

​1​，$\sin\alpha=\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1 + \tan^{2}\alpha}}$

​tanα​代入$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$推导得出 ）

半角公式

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$

​，符号由$\frac{\alpha}{2}$所在象限决定。

万能公式

$\sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^{2}\frac{\alpha}{2}}$

积化和差公式

$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha - \beta)]$

和差化积公式

$\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$
$\sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$