正方形的对角线怎么算

计算正方形对角线的长度，有以下两种常见方法：

利用勾股定理

设正方形的边长为 $a$，正方形的对角线将正方形分成两个全等的直角三角形，该直角三角形的两条直角边就是正方形的两条相邻边，长度都为 $a$，对角线就是直角三角形的斜边。

根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。若设对角线长度为 $d$，则可得：

$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

所以，$d = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2}a$

​=2

​a

也就是说，正方形对角线的长度等于边长乘以$\sqrt{2}$

​。例如，已知正方形边长为$5$厘米，根据公式可得对角线长度为 $5\sqrt{2} \approx 5×1.414 = 7.07$

​≈5×1.414=7.07厘米。

利用正方形面积公式的变形

正方形面积 $S = a^2$（$a$为边长），同时正方形面积还可以表示为 $S = \frac{1}{2}d^2$（$d$为对角线长度），这是因为两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，每个三角形面积为$\frac{1}{2}×\frac{d}{2}×\frac{d}{2}$ ，四个这样的三角形面积之和就是$\frac{1}{2}d^2$。

由于 $a^2 = \frac{1}{2}d^2$，则 $d^2 = 2a^2$，同样可推出 $d = \sqrt{2}a$

​a

如果已知正方形面积为 $S$，由 $S = \frac{1}{2}d^2$，可得 $d = \sqrt{2S}$

​。例如正方形面积是$36$平方厘米，那么对角线长度 $d = \sqrt{2×36} = 6\sqrt{2} \approx 8.49$

​=62

​≈8.49厘米 。