正多边形的面积计算公式?

正多边形面积的计算方法有多种，以下是一些常见的计算公式：

已知边长和边心距

设正 $n$ 边形的边长为 $a$，边心距（从正多边形的中心到一边的距离）为 $r$，则正 $n$ 边形的面积 $S$ 为：
$S = \frac{1}{2}×周长×边心距$
由于正 $n$ 边形周长 $C = na$，所以面积公式也可写成 $S=\frac{1}{2}×na×r$

已知外接圆半径

若已知正 $n$ 边形的外接圆半径 $R$，先求边长 $a = 2R\sin(\frac{\pi}{n})$，边心距 $r = R\cos(\frac{\pi}{n})$。
将其代入面积公式 $S=\frac{1}{2}×na×r$ 可得：
$S = \frac{1}{2}nR^{2}\sin(\frac{2\pi}{n})$

仅已知边长

对于正 $n$ 边形，还可以通过三角函数推导出仅用边长 $a$ 表示的面积公式。首先求出边心距 $r=\frac{a}{2\tan(\frac{\pi}{n})}$，周长 $C = na$。
再根据 $S=\frac{1}{2}×C×r$，可得面积公式为：
$S=\frac{n a^{2}}{4\tan(\frac{\pi}{n})}$

例如，对于正六边形（$n = 6$），边长 $a = 4$。

使用 $S=\frac{n a^{2}}{4\tan(\frac{\pi}{n})}$ 计算：

先计算 $\tan(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{3}$

​​。

把 $n = 6$，$a = 4$ 代入公式 $S=\frac{n a^{2}}{4\tan(\frac{\pi}{n})}$，得到 $S=\frac{6×4^{2}}{4×\frac{\sqrt{3}}{3}}$

​​6×42​。

化简计算：

先算分子 $6×4^{2}=6×16 = 96$。

原式变为 $S=\frac{96}{4×\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{96}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$

​​96​=343

​​96​。

根据除法运算法则，$S = 96×\frac{3}{4\sqrt{3}} = 24×\frac{3}{\sqrt{3}}$

​3​=24×3

​3​。

进一步化简 $24×\frac{3}{\sqrt{3}} = 24\sqrt{3}$

​3​=243

​。

 

 

使用 $S=\frac{1}{2}×na×r$ 计算：

先求边心距 $r$，对于正六边形，边心距 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

​​a（这是正六边形的特性），这里 $a = 4$，所以 $r = 2\sqrt{3}$

​。

周长 $C = na = 6×4 = 24$。

代入面积公式 $S=\frac{1}{2}×C×r$，即 $S=\frac{1}{2}×24×2\sqrt{3}=24\sqrt{3}$

​=243

​ 。