等比数列的等比中项怎么算

等比中项的定义
如果在等比数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{n}$，$a_{n + 1}$，$a_{n + 2}$成等比数列，那么$a_{n + 1}$叫做$a_{n}$与$a_{n + 2}$的等比中项。

等比中项的计算方法

设等比数列的公比为$q$，首项为$a_{1}$，若$a$，$G$，$b$成等比数列，则$G$就是$a$与$b$的等比中项。

根据等比数列的通项公式和等比中项的定义可得$\frac{G}{a}=\frac{b}{G}$，即$G^{2}=ab$，那么$G = \pm\sqrt{ab}$

​。也就是说，任意两个同号的实数$a$、$b$都有两个等比中项$\pm\sqrt{ab}$

​；若$a$、$b$异号，则不存在实数等比中项（在复数范围内存在等比中项）。

对于等比数列$\{ a_{n}\}$，若已知$a_{m}$和$a_{n}$（$m,n\in N^+$），那么它们的等比中项$G$满足$G^{2}=a_{m} \cdot a_{n}$，所以$G = \pm\sqrt{a_{m} \cdot a_{n}}$

​。例如，在等比数列中$a_{3}=4$，$a_{5}=9$，设$a_{3}$与$a_{5}$的等比中项为$G$，则$G^{2}=a_{3} \cdot a_{5}=4\times9 = 36$，解得$G=\pm6$ 。

 

特别地，如果等比数列$\{ a_{n}\}$的各项均为正数，那么任意相邻三项$a_{n}$，$a_{n + 1}$，$a_{n + 2}$中，$a_{n + 1}$就是$a_{n}$与$a_{n + 2}$唯一的正的等比中项，此时$a_{n + 1}=\sqrt{a_{n} \cdot a_{n + 2}}$

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