三角形内切圆半径公式

三角形内切圆半径公式有多种表达形式，以下为你详细介绍：

已知三角形三边和面积时

设三角形的三边分别为$a$、$b$、$c$，面积为$S$，其内切圆半径为$r$。
三角形面积可以分割为以内切圆圆心为顶点，分别以三边为底边的三个小三角形的面积之和。每个小三角形的高都等于内切圆半径$r$。
则$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}(a + b + c)r$
由此可得内切圆半径公式：$r = \frac{2S}{a + b + c}$

已知直角三角形三边时

对于直角三角形，两直角边为$a$、$b$，斜边为$c$ 。
其内切圆半径公式为：$r = \frac{a + b - c}{2}$
推导过程：由上述通用公式$r = \frac{2S}{a + b + c}$，直角三角形面积$S = \frac{1}{2}ab$，代入可得$r = \frac{ab}{a + b + c}$ 。再通过一定的代数变形（$ab = \frac{(a + b)^2 - (a^2 + b^2)}{2}$，而直角三角形中$a^2 + b^2 = c^2$ ），最终可得出$r = \frac{a + b - c}{2}$ 。